1. La proportion comme principe esthétique
• La définition et l'usage
En toute rigueur, conformément à Euclide, la proportion, c'est l'équivalence de deux rapports entre des grandeurs homogènes ; elle est donc composée essentiellement de quatre termes : le second et le troisième sont dits moyens par opposition aux extrêmes. Quand les deux moyens sont égaux la proportion n'offre plus que trois termes dont la séquence engendre une progression. Les mathématiciens grecs ont défini et classé des relations dont l'ensemble constitue la théorie des médiétés. Archytas fait état de trois proportions, l'arithmétique, la géométrique et la subcontraire ou harmonique. Dans l'arithmétique, chaque terme conséquent surpasse de la même quantité son antécédent ; dans la géométrique à trois termes, le premier est au second ce que le second est au troisième ; quant à la subcontraire, selon la définition de Porphyre, elle est réalisée si « le premier terme excédant de quelque quotité de lui-même le second, celui-ci excède le troisième par la même quotité du troisième ». Donc, si a, b et c sont en progression subcontraire, la relation a = b + a/n entraîne b = c + b/n ; d'où il résulte que a/c = (a − b)/(b − c), ou 1/a + 1/c = 2/b.
Nicomaque et Pappus décrivirent par la suite un ensemble de dix relations fonctionnelles entre trois termes, incorporant les trois types précédents. Une autre relation traditionnelle, particulièrement valorisée, associe quatre termes, selon une loi qui combine les proportions harmonique et géométrique ; par exemple, dans la suite 12, 9, 8, 6. Cette forme, qualifiée par Jamblique de musicale, passait pour être d'origine babylonienne et aurait été introduite en Grèce par Pythagore.
Le calcul des médiétés ne procure pas nécessairement des expressions rationnelles ; de même que la diagonale du carré est incommensurable au côté, un rapport comme la « section d'or » est arithmétiquement irrationnel ; il s'agit de la proportion continue présente dans le part […]
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