PRÉDICATIVISME, mathématique

Doctrine selon laquelle certaines définitions naïvement reçues de la logique ou des mathématiques classiques recèlent une certaine sorte de circularité qu'on retrouve à l'origine de tous les grands paradoxes et qui, même quand elle n'y conduit pas, devrait être interdite. Le principe de cette interdiction est le « principe du cercle vicieux » (PCV), qui dit, grosso modo, qu'un objet ne peut être défini dans les termes d'une multiplicité d'objets parmi lesquels il se trouve.

L'idée du PCV fut lancée pour la première fois par Henri Poincaré (1854-1912) en réaction à un paradoxe découvert par Jules Richard (1862-1956) en 1905. Celui-ci avait considéré l'ensemble E des nombres qui peuvent être définis en un nombre fini de mots, et avait apparemment réussi à définir un certain nombre N qui, de par sa définition même, différait de chacun des éléments de E et donc n'appartenait pas à E, et qui, cependant, étant défini en un nombre fini de mots, appartenait à E. En 1906, Poincaré remarqua que, dans sa définition de l'élément N de E, Richard avait mobilisé la notion de l'ensemble E, et il résolut ainsi le paradoxe : la prétendue définition de N contenait un cercle vicieux, ce n'était pas une véritable définition. La même explication valait, selon Poincaré, pour tous les grands paradoxes.

De son côté, Bertrand Russell (1872-1970) cherchait pour le fameux paradoxe relatif aux classes (autrement dit aux ensembles) qu'il avait découvert en 1901 une solution de portée générale. Ce paradoxe montrait que la propriété d'être une classe qui n'est pas membre d'elle-même ne définissait pas de classe, ou, dans la terminologie de Russell, que ladite propriété n'était pas « prédicative ». La question était alors de faire le départ entre les propriétés, ou définitions, qui étaient prédicatives et celles qui ne l'étaient pas. Lorsqu'il prit connaissance de l'idée de Poincaré, il l'adopta immédiatement, tout en disant y trouver confirmation de ses propres idées : les définitions prédicatives n'étaien […]