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POLYNÔMES

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2.  Fonctions polynomiales

À l'exception de tout ce qui concerne les racines, les résultats qui seront énoncés dans le présent chapitre s'étendent facilement au cas des polynômes à plusieurs indéterminées ; nous nous contenterons de les énoncer pour les polynômes à une indéterminée.

•  Fonction polynomiale associée à un polynôme formel

Soit A un anneau commutatif unitaire et :

un élément de A[X] écrit sous la forme (3). On appelle valeur de P sur un élément x ∈ A l'élément :
et fonction polynomiale associée à P l'application P* : A → A définie par P*(x) = P(x) ; dans la pratique, on désigne encore par P cette fonction polynomiale.

Les fonctions polynomiales, c'est-à-dire les applications de A dans A pouvant s'obtenir à partir des éléments de A[X], forment un anneau commutatif unitaire, et l'application de K[X] dans cet anneau qui à tout polynôme formel associe la fonction polynomiale correspondante est un homomorphisme (par définition surjectif) d'anneaux. Si A est un anneau d'intégrité infini, cet homomorphisme est en fait un isomorphisme, c'est-à-dire que deux polynômes P et Q ∈ A[X] sont égaux si et seulement si P(x) = Q(x) pour tout x ∈ A. Pour obtenir un contre-exemple, il suffit de prendre pour A le corps fini }0, 1, 2{ des classes d'entiers modulo 3 ; le polynôme non nul :

prend la valeur 0 en tout point de A.

 […]

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