La théorie des équations et des polynômes a été le propos essentiel de l'algèbre jusqu'au xixe siècle (cf. équations algébriques, algèbre) et est à la base de la théorie des corps et de la théorie des nombres algébriques. Nous nous sommes limités ici à une construction formelle des objets mathématiques considérés, qui fait apparaître, sous le vocable « polynômes », l'existence de deux notions distinctes : les polynômes formels et les fonctions polynomiales. Cet article élémentaire pourra aussi servir d'introduction au maniement des notations abstraites.
1. Polynômes formels
La notion de polynôme est familière, mais on s'est contenté pendant fort longtemps de décrire des règles de calcul sans définir véritablement les objets mathématiques considérés. On trouve couramment des définitions comme : « Un monôme entier en la variable x est une expression de la forme Axn, A étant un coefficient numérique et n un entier positif » ; « Un polynôme en la variable x est une somme qui ne peut être composée (sic) que de nombres et de monômes entiers ». Puis suit l'énumération des règles de calcul sur ces objets.
La construction des polynômes donnée ici illustre, dans le cadre simple de l'algèbre élémentaire, la manière dont le mathématicien formalise, en suivant une voie qui peut sembler a priori déroutante, voire artificielle, certaines notions tenues pour « évidentes » ou « intuitives ».
• Définition
Soit A un anneau commutatif unitaire. On appelle polynôme à une indéterminée (cette terminologie sera justifiée plus loin) à coefficients dans A toute suite :
Les polynômes étant définis comme des cas particuliers de suites (c'est-à-dire d'applications de l'ensemble N des entiers naturels dans A), deux tels polynômes sont donc égaux si et seulement s'il […]
… pour nos abonnés, l'article se prolonge sur 3 pages…
