La théorie des équations et des polynômes a été le propos essentiel de l'algèbre jusqu'au xixe siècle (cf. équations algébriques, algèbre) et est à la base de la théorie des corps et de la théorie des nombres algébriques. Nous nous sommes limités ici à une construction formelle des objets mathématiques considérés, qui fait apparaître, sous le vocable « polynômes », l'existence de deux notions distinctes : les polynômes formels et les fonctions polynomiales. Cet article élémentaire pourra aussi servir d'introduction au maniement des notations abstraites.
La notion de polynôme est familière, mais on s'est contenté pendant fort longtemps de décrire des règles de calcul sans définir véritablement les objets mathématiques considérés. On trouve couramment des définitions comme : « Un monôme entier en la variable x est une expression de la forme Axn, A étant un coefficient numérique et n un entier positif » ; « Un polynôme en la variable x est une somme qui ne peut être composée (sic) q […]
Autres références
« POLYNÔMES » est également traité dans :
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ALGÉBRIQUES STRUCTURES
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Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN
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ANNEAUX COMMUTATIFS
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r = 0. b) Un autre exemple important d'anneau principal est l'anneau K[X] des *polynômes à coefficients dans un corps commutatif K. La démonstration repose ici encore sur l'existence dans cet anneau d'une division « euclidienne » : si A et B sont des polynômes, il existe un couple et un seul de polynômes Q et R tels que A = BQ…
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de deux variables est un anneau (pour l'addition et la composition), isomorphe à l'anneau des *polynômes C [X,Y] à deux indéterminées X et Y. » (Par exemple, à l'opérateur cité ci-dessus correspond le polynôme AX + BY2− CXY2.) L'isomorphisme précédent s'explique par l'analogie complète qui existe entre les règles de…
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CORPS, mathématiques
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E.U., Robert GERGONDEY
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un nombre complexe algébrique, c'est-à-dire une racine d'une équation P(X) = 0, où P(X) est un *polynôme à coefficients entiers, de degré n irréductible sur le corps Q ; alors l'ensemble Q(x) des nombres complexes de la forme : où les ai sont des nombres rationnels quelconques,…
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COURBES ALGÉBRIQUES
Auteur :
Luc GAUTHIER
paramétrique, et une élimination. L'existence de méthodes canoniques d'élimination en théorie des *polynômes est sans doute à l'origine de l'intérêt porté aux courbes algébriques, c'est-à-dire, grosso modo, à l'ensemble des points d'un plan où s'annule un polynôme. Le rôle important de l'homogénéité dans la théorie des polynômes, aperçu au moment…
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Bibliographie
L. Chambadal & J.-L. Ovaert, Cours de mathématiques, t. II : Algèbre II, Gauthier-Villars, Paris, 1972
R. Godement, Cours d'algèbre, Hermann, Paris, 3e éd. 1994
J. Pichon, Les Polynômes, Marketing, Paris, 1989.
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