3. Équations différentielles des polynômes orthogonaux
Soit I = [α, β] un intervalle compact de R, a et b deux fonctions à valeurs réelles indéfiniment dérivables sur I, la fonction a ne s'annulant pas sur l'intérieur de I et admettant un zéro simple aux points α et β. On considère l'équation différentielle :
où λ est un nombre complexe. De telles équations interviennent, par exemple, dans les problèmes de Sturm-Liouville. Les solutions de (1) sont les fonctions propres de l'endomorphisme U :
f ↦
af″ +
bf′ de l'espace vectoriel E des fonctions indéfiniment dérivables sur I. Pour étudier l'équation (1), on introduit sa fonction résolvante, c'est-à-dire une fonction
r à valeurs réelles strictement positives, définie sur l'intérieur de I vérifiant l'équation différentielle :
alors :
Supposons que les nombres :
soient réels strictement positifs. Dans ce cas, (
x − α)
− μr(
x)
a(
x) admet une limite finie non nulle au point α et (β −
x)
− υr(
x)
a(
x) admet une limite finie non nulle au point β. Par suite, pour tout couple (
f, g) d'éléments de E, la fonction
rfḡ est intégrable sur I.
On peut donc définir un produit hermitien sur E par la formule :
L'endomorphisme U est alors hermitien ; plus précisément :
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