2. Polynômes orthogonaux
Soit I un intervalle de R non réduit à un point et p une fonction à valeurs réelles continue sur I, telle qu'en tout point x intérieur à I, p (x) > 0. Soit CI(p) l'espace vectoriel des fonctions f à valeurs complexes continues sur I telles que :
On munit CI(p) du produit hermitien :
L'espace hermitien CI(p) n'étant pas complet, on est amené à le considérer comme un sous-espace vectoriel L2I(p) des classes de fonctions f mesurables sur I à valeurs complexes et telles que :
Muni du produit hermitien précédent, L2I(p) est un espace hilbertien.
Plaçons-nous dans l'un des deux cas suivants :
a) L'intervalle I est borné et p est intégrable sur I, c'est-à-dire que :
b) L'intervalle I est non borné, p est intégrable sur I et à décroissance rapide à l'infini, c'est-à-dire que, pour tout entier n,
Les fonctions monomiales en :x ↦ xn appartiennent alors à CI(p). La suite (Pn) des fonctions polynomiales déduite de la famille (en) par orthonormalisation est app […]
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