5. Théorie de l'approximation
Ces recherches pratiques inspirent à Tchebychev l'étude de l'approximation des fonctions continues par des polynômes. Indépendamment de Weierstrass, il démontre la possibilité d'approcher toute fonction continue f, uniformément sur un intervalle compact [a, b], par une suite de polynômes de degré croissant. Ce résultat qualitatif est complété par une étude précise des polynômes de meilleure approximation Pn de degré donné n (cf. Représentations et approximations des fonctions, chap. 5 et 8). Il prouve la caractérisation suivante : « Parmi les polynômes π de degrés ≤ n, le polynôme Pn est le seul pour lequel :
Appliquant ce résultat à des problèmes variés, il met en évidence le rôle primordial du polynôme de Tchebychev Tn de degré n. Parmi les polynômes dont le monôme de plus haut degré est 2n-1xn, le polynôme Tn est celui qui s'écarte le moins de 0 sur l'intervalle [− 1, + 1]. Ce polynôme satisfait à la propriété : Tn(cos θ) = cos nθ. Par exemple, sachant que :
En outre, on a :
Le rôle du polynôme Tn apparaît mieux dans la représentation « géométrique » moderne suivante. Dans l'espace vectoriel Pn des polynômes d'une variable de degré ≤ n, l'en […]
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