4. Mécanique
Marquant un goût précoce pour la construction d'engins mécaniques et de modèles réduits, Tchebychev imagina et construisit de ses mains une machine arithmétique que l'on peut voir au Conservatoire des arts et métiers de Paris. Contrairement à ses devancières, cette machine réalise approximativement le saut brusque des chiffres des dizaines, centaines, etc., à la manière d'un taximètre.
Mais deux thèmes ont plus spécialement attiré son attention : la théorie quantitative de l'approximation des fonctions et l'étude des mécanismes destinés à la transmission du mouvement dans les engins à vapeur. La postérité a surtout retenu la première, et le développement de cette branche d'analyse numérique est loin d'être épuisé. Cependant, la filiation entre l'étude des mécanismes (complètement périmée) et la théorie de l'approximation polynomiale est une curiosité injustement méconnue.
La technique de la locomotive exige l'étude de systèmes articulés permettant de transformer un mouvement de va-et-vient rectiligne du piston en un mouvement rotatif uniforme. Faute d'y parvenir exactement, on envisage de les réaliser approximativement. Il s'agit d'étudier des mécanismes articulés, dont les longueurs des barres sont à choisir au mieux, en vue d'aboutir à la meilleure approximation. Dans la douzaine de longs mémoires que Tchebychev consacre à ce genre de problèmes, empruntons l'exemple simple et typique suivant : dans le « trois-barres » de la figure, la longueur AA′ est égale à (AB + BB′ + A′B′)/3 et la longueur de la tige mobile BB′ doit surpasser le quart de celle de AB = A′B′. Dans ces conditions, à mesure que la différence BB′ − AB/4 tend vers 0, la longueur de la portion sensiblement rectiligne de la trajectoire du point M diminue, mais en même temps la rigueur avec laquelle elle représente une ligne droite croît plus rapidement que ne diminue sa longueur.
Le savant russe s'est aussi occupé de la construction de cartes géographiques. Faute de pouvoir représenter une portion de la Terre à une échelle rigoureusement constante, il cherche, pour chaque pays et en particulier pour la Russie, le système cartographique optimal pour lequel les variations d'échelles sont les plus faibles.
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