ORDINAL, mathématiques

Ce sujet est traité dans les articles suivants :

1.  CANTOR GEORG (1845-1918)

Écrit par : Jean-Luc VERLEY

Dans le chapitre "La rupture avec les mathématiques traditionnelles"  : …  : « celui de la puissance [...] indépendante de l'ordre imposé à l'ensemble et celui de nombre *ordinal qui est nécessairement lié à l'ordre imposé à l'ensemble ». Il ajoute : « Si je redescends de l'infini au fini, je vois avec la même clarté et la même beauté comment les deux concepts redeviennent un et se fondent dans le concept de nombre… Lire la suite

2.  DÉMONSTRATION THÉORIE DE LA

Écrit par : Jean-Yves GIRARD

Dans le chapitre "L'ordinal ε0 et la ω-logique"  : … À *plusieurs reprises dans les années trente, Gentzen allait donner des démonstrations de cohérence pour l'arithmétique de Peano AP. Pour obtenir de tels résultats, il était nécessaire, par le second théorème d'incomplétude, de se servir de méthodes extérieures à l'arithmétique. Gentzen utilisa comme méthode l'induction transfinie jusqu'à ε… Lire la suite

3.  ENSEMBLES (THÉORIE DES) - Théorie axiomatique

Écrit par : Jacques STERN

Dans le chapitre "Axiome de la réunion"  : … x2}, {x3}}. On peut associer à chaque entier intuitif un *ordinal fini : (on notera que les éléments de cette suite sont distincts). Étant donné des ensembles x1, x2, ..., xn, on désigne par : et on appelle réunion des… Lire la suite

4.  NEUMANN JOHN VON (1903-1957)

Écrit par : Jean-Luc VERLEY

Dans le chapitre "Logique mathématique"  : … sont remplacées par une construction précise qui évite l'introduction des types d'ordre : un nombre *ordinal apparaît comme l'ensemble de tous les nombres ordinaux plus petits. Par un article de 1928 l'auteur reprendra cette étude dans un contexte axiomatique élargi. Une série d'articles, échelonnés de 1925 à 1929, est consacrée à l'axiomatisation… Lire la suite

5.  NUMÉRATION

Écrit par : Josette ADDA

Dans le chapitre "Aspect « ordinal »"  : … *Si l'on construit une suite d'ensembles dont le premier est vide et tels que, à partir du deuxième (auquel on donnera le numéro un), chacun s'obtient en recopiant le précédent et en lui adjoignant un objet et un seul, c'est-à-dire que chaque ensemble a exactement « un objet de plus » que le précédent, ce qu'on matérialise ainsi n'est autre que la… Lire la suite

6.  RÉCURSIVITÉ, logique mathématique

Écrit par : Kenneth Mc ALOON, Bernard JAULIN, Jean-Pierre RESSAYRE

Dans le chapitre "Complexité"  : … étroitement liées. Précisément, définissons la hiérarchie suivante de fonctions indexée par des *ordinaux : Ainsi, f1(x) = 2x, f2(x) = 2^x ( x, etc. Pour chaque n ∈ N, la fonction fn permet de définir un… Lire la suite

7.  RELATION

Écrit par : Jean LADRIÈRE

Dans le chapitre "La théorie des relations d'Alfred Tarski"  : … multirelations. Les bases de la théorie des types de relation ont été établies par Tarski dans *Ordinal Algebras. Il s'agit, en fait, d'une généralisation de la théorie des ordinaux. Comme on l'a vu plus haut, un nombre ordinal représente ce qui est commun à des relations de bon ordre semblables. Selon le vocabulaire de la théorie des… Lire la suite

8.  RUSSELL BERTRAND lord (1872-1970)

Écrit par : Philippe DEVAUX

Dans le chapitre "La logique de Russell"  : … des classes appariées. Le nombre cardinal ainsi récupéré du point de vue logique, restent l'*ordinal et le zéro. L'axiome d'infinité exige qu'il y ait toujours des nombres au-delà de tout nombre n fini assignable. Il y a un nombre infini d'objets. Cela peut se démontrer logiquement. L'ordinal étant intégré par la même procédure (… Lire la suite