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OPTIMISATION & CONTRÔLE

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2.  Les problèmes concrets

On ne parlera ici ni des problèmes en dimension finie (cf. programmation mathématique) ni des méthodes numériques (cf. analyse numérique).

•  Équations aux dérivées partielles

Soit Ω un ouvert borné de Rn. Si l'on cherche, dans un espace fonctionnel approprié, les fonctions x : Ω → RN prenant des valeurs données sur le bord de Ω et minimisant l'intégrale :

où (∂x/∂t) (t) représente la matrice des (∂xj/∂ti) (t) et f (t, x, y) est une fonction donnée, on obtient comme condition nécessaire du premier ordre les équations d'Euler-Lagrange :

Beaucoup d'équations issues de la physique sont de ce type (on dit alors qu'on a affaire à un problème variationnel). Il est cependant fréquent que les solutions physiques ne minimisent pas l'intégrale ci-dessus, mais correspondent à d'autres types de points critiques.

Il reste cependant des cas (problèmes elliptiques essentiellement) où l'on peut ramener la résolution d'une équation aux dérivées partielles à un problème d'optimisation. Le cas classique est le problème de Dirichlet (avec N = 1) :

qui se ramène à la minimisation de l'intégrale :
où, pour chaque t fixé, F(t, () est une primitive de f (t, (). Si F(t, () est convexe, c'est-à-dire si f (t, ( […]

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Problème de Dirichlet : solution Convexifiée

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