Une définition formelle du concept d'application est la suivante : une application f d'un ensemble A dans un ensemble B est une partie du produit cartésien A × B [c'est-à-dire des couples (x, y) où x décrit A et y décrit B], telle que, pour tout élément a de A, il existe un b et un seul de B, noté b = f(a), tel que (a, b) appartienne à f.
Dans le cas particulier où A est lui-même un produit cartésien, donc où A = E × F, une application f de A dans B est notée sous la forme c = f(a, b) [en toute rigueur, on devrait écrire f((a, b)) mais cette notation est abandonnée en raison de sa lourdeur]. Elle prend alors le nom d'opération ou, si l'on veut être tout à fait précis, d'opération partout définie. Un exemple très important est celui où E est le corps des réels, et où F = B est un espace vectoriel réel, avec le « produit d'un vecteur b par un scalaire [un nombre] a », encore appelé produit externe ; c'est le vecteur habituellement noté c = a.b, par extension naturelle du cas plus particulier où E = F = B = ℝ pour lequel l'opération précédente n'est autre que la multiplication usuelle. Rappelons que, par définition, le vecteur a.b n'est autre que l'image de b par l'homothétie de centre 0 (l'élément neutre pour l'addition de l'espace vectoriel F) et de rapport a. Ces deux vecteurs b et a.b sont donc proportionnels entre eux.
Un autre nom pour opération est loi de composition, externe si E et F sont différents, interne dans le cas contraire.
Si l'on a toujours E = F = B (sans que cet ensemble soit nécessairement le corps des réels), on retrouve ainsi ce que l'usage attache au mot opération ; l'égalité générique c = f(a, b) est très souvent remplacée dans la pratique par une écriture de la forme c = a ∗ b, où le signe ∗ peut être, par exemple, le signe + ou le signe ×. C'est surtout dans ce cas que l'on parle de loi de composition.
Les propriétés que peuvent avoir les opérations sont bien connues. Le cas général, où une opération est tout simplement une application à deux variables, […]
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