5. Acquis et états actuels
Dans les problèmes d'onde, les variables d'espace jouent un rôle fondamental, bien entendu associé à la notion de propagation. Mais, pour décrire les propriétés des solutions, on est naturellement amené à employer la transformée de Fourier, ce que les physiciens appellent aussi le spectre des solutions.
Dans les problèmes linéaires, on rencontre déjà une difficulté fondamentale liée au théorème de Payley Wiener et au principe d'incertitude de Heisenberg. Pour surmonter cette difficulté, les physiciens avaient, au début du siècle, introduit les notions de vitesse de groupe et de vitesse de phase. La contribution des mathématiciens a été la mise au point d'un cadre fonctionnel (front d'ondes, opérateurs Fourier intégraux, etc.) dans lequel la relation entre les phénomènes ondulatoires et corpusculaires s'exprime en négligeant les éléments « réguliers » des solutions. On obtient ainsi à la fois une description plus précise, qualitative, et un outil permettant d'obtenir de nouveaux résultats. Par exemple, la distribution asymptotique des fréquences propres d'un tambour a été décrite plus haut (cf. Principe de superposition).
Dans le cas non linéaire, la situation est beaucoup plus complexe. La transformation de Fourier n'est pas d'usage aussi simple, mais l'aspect analyse de Fourier est cependant toujours présent. En particulier, dans la compétition entre les phénomènes non linéaires et les phénomènes linéaires. Par exemple :
a) dans l'équation de Navier-Stokes, la présence de termes de viscosité empêche la formation de chocs qui se produisent dans l'équation d'Euler ;
b) dans l'équation de Korteweg-de Vries, le terme uxxx introduit une dispersion qui empêche également la formation d'ondes de choc ;
c) de même, dans les équations d'ondes non linéaires (cf. supra, Interactions non linéaires d'ondes), c'est la dispersion, liée à l'opérateur Δ, qui empêche la formation de singularités et force la solution à se comporter asymptotiquement comme cel […]
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