4. Développements récents. Apports des mathématiques
L'étude mathématique des ondes, l'analyse de leur propagation et des interactions qui structurent leur comportement qualitatif ont connu, depuis 1950, un développement spectaculaire. Cela a été permis par la construction de concepts mathématiques et d'outils particulièrement adaptés à l'étude d'équations aux dérivées partielles, telle l'équation des ondes. En retour, l'étude de cette dernière a puissamment contribué à l'élaboration de ces concepts.
• Principe de superposition et opérateurs intégraux de Fourier
Un pas important a été effectué par la formalisation du fait que, dans l'équation des ondes :
la géométrie du milieu où se propagent les ondes se trouve contenue dans la définition du laplacien de l'onde : Δ
u. Si ce milieu est homogène et infini dans toutes les directions spatiales, ce terme s'écrit :
où les coordonnées (
x,
y,
z) repèrent l'espace. Si ce milieu est localement homogène, mais délimité dans l'espace – appelons-le domaine spatial –, ce terme s'écrit de manière identique, mais l'onde
u dont on s'autorise à prendre le laplacien doit vérifier des conditions aux bords de ce domaine : ainsi, lorsque l'onde représente la vibration transversale d'une corde de violon, elle doit s'annuler aux extrémités de la corde ; de même qu'elle doit s'annuler aux bords de la membrane d'un tambour lorsqu'elle représente le déplacement transversal de cette membrane. Si l'onde représente la vibration d'une coque de bateau, la géométrie de cette coque se lit dans les coefficients mêmes du laplacien. (Ainsi, le terme v
2 dans l'équation, interprété comme constante géométrique, sera d […]
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