Le concept d'onde est l'un des plus universels de la physique mathématique. Ce dernier, élaboré au xviie siècle, lorsque la division entre mathématiques et physique (et philosophie aussi) n'avait pas le caractère institutionnel que nous lui connaissons, est né de l'observation d'un phénomène des plus ordinaires : la propagation d'ondes ou de rides à la surface de l'eau (les mots wave en anglais et Welle en allemand désignent aussi bien une onde qu'une vague). Alors que le concept d'onde envahissait progressivement tous les domaines de la physique, au point de devenir l'un des deux concepts ontologiques fondamentaux de la physique classique, se développait l'étude de ses propriétés proprement mathématiques, étude liée aux travaux du xviiie siècle sur les équations aux dérivées partielles. À l'heure actuelle, la situation est telle qu'un physicien et un mathématicien, parlant d'« ondes », ont besoin de s'assurer qu'ils parlent bien de la même chose. D'où la structure du présent article, divisé en deux parties, l'une « physique », exposant les principales caractéristiques du concept tel qu'il est défini traditionnellement en physique, l'autre « mathématique », où l'accent est porté sur les récents développements de l'étude mathématique des ondes.
En dehors des rides à la surface de l'eau, archétype pédagogique, le concept d'onde permet de parler en termes physico-mathématiques de phénomènes aussi divers que le son (ondes sonores considérées comme des ondes de pression se propageant dans l'air), ou que la lumière (de nature électromagnétique, combinaison de deux champs, électrique et magnétique, dont le couplage est régi par les équations de Maxwell). On parlera également en termes d'ondes de la propagation des ébranlements dans les solides ; dans ce cas, il peut s'agir soit d'une onde de compression (modélisée par la compression des « ressorts » liant les wagons d'un train, se propageant d'un bout à l'autre du train lorsqu'on y accroche une locomotive), soit d'ondes d'o […]
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