ONDELETTES

4.  4. Une application spectaculaire : la compression de données

La compression de données est l'un des défis majeurs lancés aux mathématiciens d'aujourd'hui. Le développement de ce que l'on qualifie parfois de « société de l'information » rend nécessaires le stockage et la transmission ultrarapide de quantités gigantesques d'informations de toutes sortes. Le défi est tout d'abord technologique, dans la mesure où il s'agit de stocker un maximum de données dans un volume aussi réduit que possible, ou encore de transmettre un maximum de données de façon aussi économique que possible. Mais le problème se pose aussi en amont, au niveau des mathématiques. En effet, si les mathématiques permettent de réduire la quantité de nombres nécessaires pour coder de telles informations, cela se traduit presque automatiquement par une augmentation des performances tant au niveau du stockage qu'au niveau de la transmission. Encore faut-il pour cela que cette réduction puisse être faite rapidement, afin de ne pas pénaliser l'ensemble du processus de transmission.

La technologie numérique actuelle est fondée sur ce que l'on appelle « théorie de l'échantillonnage ». Cette théorie nous enseigne tout d'abord qu'il est impossible de reproduire sans distorsion un signal continu à partir d'un nombre fini d'échantillons. Plus précisément, le taux auquel l'on échantillonne le signal (autrement dit le nombre de valeurs par seconde) limite la bande passante, c'est-à-dire le domaine des fréquences qui sont transmises sans distorsion. La téléphonie actuelle est fondée sur ce principe : elle fournit une bande passante limitée à 4 kHz environ, très en deçà des limites perceptibles par notre oreille. Pour améliorer ces performances, on peut certes améliorer la bande passante. Une autre solution, qui est plutôt complémentaire, consiste à représenter différemment l'information avant de la transmettre. 

Si nous poursuivons avec l'exemple d'un signal sonore, on s'aperçoit assez facilement que des valeurs conséc […]