2. 2. Une représentation efficace
Une partition musicale est une représentation formidablement efficace du signal musical, dans la mesure où elle schématise une énorme quantité d'informations en utilisant relativement peu de signes. La première question qui vienne à l'esprit est de savoir si les décompositions en ondelettes sont capables d'approcher une telle efficacité, ne serait-ce que dans des situations nécessairement idéalisées où le signal est moins complexe. Ainsi, étant donné une fonction mathématique, ses coefficients d'ondelettes permettent-ils de retrouver simplement certaines de ses caractéristiques ? Ou encore, étant donné un signal produit par un phénomène bien déterminé, peut-on à l'aide d'une transformée en ondelettes accéder à certaines informations relatives à ce phénomène ou bien détecter ce phénomène quand il se produit (on peut penser à des applications très pratiques, par exemple détecter automatiquement le dysfonctionnement d'un moteur par analyse du bruit qu'il produit) ? Il est bien évident que la réponse est négative dans le cas général (l'outil universel n'existe pas...). Cela étant, les décompositions en ondelettes ont quand même permis de répondre par l'affirmative dans nombre de cas précis.
Une famille d'exemples nous est fournie par les mathématiques, comme l'ont montré Y. Meyer et ses collaborateurs. Une des problématiques traditionnelles de l'analyse mathématique est la caractérisation de ce que l'on appelle les propriétés de régularité des fonctions. Très grossièrement, la régularité d'une fonction traduit la rapidité avec laquelle elle varie. Plus précisément, les fonctions sont regroupées en classes (appelées « espaces fonctionnels ») de fonctions possédant toutes certaines propriétés génériques. Certaines de ces propriétés étant souvent difficiles à vérifier directement, il est souvent nécessaire de les traquer par des moyens détournés. La transformation de Fourier en est un, et les fonctions de certaines classes peuvent être caractérisées par les propriétés de leur tr […]
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