2. Les objets mathématiques
Les objets mathématiques ont bien évidemment des propriétés, un contenu, qui les différencie non en tant qu'individus réalisés hic et nunc, mais en tant que concepts déterminés, car ils ne sont pas saisissables comme tels dans une expérience sensible. Les philosophes ont pris à leur égard des positions très variées, qu'on peut cependant répartir entre quelques grandes orientations ; nous présenterons cette classification sommaire de deux points de vue.
• Réalisme et nominalisme
Du point de vue du type de réalité qu'on leur attribue, on distinguera l'orientation réaliste et l'orientation nominaliste. La première pourrait être représentée par Platon chez les Anciens, par Frege chez les Modernes, quoiqu'en des sens fort différents. Elle consiste à considérer les mathemata non pas tant comme des objets que comme des êtres, indépendamment du mode de connaissance qu'on en peut avoir. On connaît la boutade de Frege : le nombre entier est aussi réel que la mer du Nord... Quelle que soit la manière dont la thèse est entendue, il en résulte évidemment que la mathématique est une science de découverte, que les objets mathématiques existent de toute éternité et que leurs propriétés, comme celles des objets du monde sensible, peuvent être soupçonnées, conjecturées, entrevues avant même que des démonstrations explicites les viennent à coup sûr établir. En faveur d'une telle thèse, on alléguera les obstacles et les contraintes qu'offrent à la pensée les objets mathématiques, leur caractère immuable une fois défini, et l'expérience de nombreux mathématiciens créateurs qui disent « voir » et manipuler les objets de leurs recherches.
Selon l'orientation nominaliste, en revanche, on considère ces objets comme des constructions de langage, renvoyant en dernier ressort à des sensations. Pour Locke, ils consistent en relations d'idées, non de fait dont l'exacte manipulation a surtout pour effet de procurer une habitude de « raisonner rigoureusement avec ordre » (De la conduite de l'entendement, paragr. 7, p. 35). Selon Berkele […]
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