4. Théorèmes taubériens
L'article sur l'analyse harmonique généralisée faisait appel à des techniques fines d'analyse que Wiener développe sous une forme systématique dans son article Tauberian Theorems de 1932. Il s'agit d'un vaste ensemble de théorèmes unifiés par l'utilisation de la convolution et de la transformation de Fourier (classique) ; la terminologie provient du théorème de Tauber (1897), le premier de ce type, qui s'énonce ainsi : Si une série de terme général an est telle que Σanxn tende vers S pour x tendant vers 1 à gauche, alors Σan = S.
Les théorèmes taubériens de Wiener sont de plusieurs formes ; un des résultats essentiels est le suivant.
Théorème. Soit K1 une fonction intégrable sur R dont la transformée de Fourier ne s'annule en aucun point de R. Soit h une fonction mesurable bornée sur R. Alors, si l'on a :
Ce type de théorème permet d'obtenir une nouvelle démonstration du théorème sur la distribution des nombres premiers.
Les théorèmes taubériens de Wiener font jouer un rôle essentiel aux zéros des transformées de Fourier et sont liés au problème de la synthèse harmonique (cf. analyse harmonique, chap. 2). Un des théorèmes fondamentaux obtenus par Wiener à ce propos est le suivant.
Théorème. Soit Σ un ensemble de fonctions intégrables sur R. Une condition nécessaire et suffisante pour que les combinaisons linéaires finies de translatées de fonctions de […]
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