3. L'analyse harmonique généralisée
Les processus étudiés par Wiener, comme le mouvement brownien, les bruits ou les rayons lumineux, n'étaient pas redevables de l'analyse harmonique classique. Il écrivait : « Les deux théories de l'analyse harmonique contenues dans le développement classique en série de Fourier et la théorie de Plancherel n'épuisent pas les possibilités de l'analyse harmonique. Les séries de Fourier ne s'appliquent qu'au cas très particulier des fonctions périodiques, tandis que la théorie de Plancherel ne s'applique qu'aux fonctions de carré sommable, et donc qui tendent vers zéro en moyenne quand la variable tend vers l'infini. Aucune de ces deux théories n'est utilisable pour étudier un rayon de lumière blanche supposé de durée infinie. »
Dans l'important mémoire Generalized Harmonic Analysis de 1930, Wiener construit une théorie mathématique qui puisse répondre aux besoins des physiciens. Il étudie l'espace S des fonctions complexes f mesurables sur R pour lesquelles la fonction de covariance :
Wiener établit que, pour f appartenant à S, la fonction de covariance est une transformée de Fourier-Stieltjes :
égalité vraie pour presque tout x, où la fonction croissante bornée S, unique après normalisation, est la distribution spectrale de f.
Poursuivant le parallèle avec la théorie classique, Wiener définit, pour f ∈ S, l'analogue s de sa transformée de Fourier, par une formule trop technique pour être donnée ici. Un des résultats principaux pour les applications est la formule :
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