2. Le mouvement brownien
Le mouvement brownien est un des exemples les plus célèbres de processus aléatoire (cf. processus stochastiques). Vers 1905, Einstein et M. von Smoluchowski avaient étudié, indépendamment l'un de l'autre, le comportement des particules agitées par le mouvement décrit pour la première fois par le botaniste anglais Robert Brown en 1828. Les recherches de Wiener sur ce sujet vont motiver toute son œuvre mathématique ultérieure : son idée initiale est d'étudier l'ensemble des chemins des particules en tant qu'espace fonctionnel. Citons J. L. Doob : « Dans une série d'articles à partir de 1920, Wiener a entrepris une analyse mathématique du mouvement brownien. Il était admis que les trajectoires browniennes étaient régies par des lois probabilistes et il semblait plausible que ces trajectoires étaient continues. Le problème était de construire et d'analyser un modèle mathématique rigoureux. Plus d'une décennie avant la formalisation de la probabilité par Kolmogorov, Wiener a construit un modèle mathématique du mouvement brownien dont les probabilités de base étaient les valeurs d'une mesure définie sur des sous-ensembles d'un espace de fonctions continues. Depuis lors, cette mesure est appelée couramment « mesure de Wiener. »
Wiener construit la théorie mathématique correspondante d'intégration dans un espace fonctionnel dans son article Differential-Space publié en 1923. Il établit que « presque sûrement » (au sens de la probabilité) le chemin d'une particule est une courbe non dérivable, ce qui avait été pressenti par Jean Perrin dans son livre Les Atomes à partir de la remarque que la particule n'a aucune direction déterminée a priori en chaque point.
Une quinzaine d'années plus tard, dans son article The Homogeneous Chaos, Wiener reprendra l'étude d'une classe de processus englobant le mouvement brownien, mais avec cette fois les outils de la théorie ergodique qu'il perfectionne à cette occasion.
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