NON-CONTRADICTION

Ce sujet est traité dans les articles suivants :

1.  CONTINU HYPOTHÈSE DU

Écrit par : Patrick DEHORNOY

Dans le chapitre "Une affaire terminée ?"  : … sa négation ¬HC, est prouvable à partir de ZFC. Les réponses constituent deux résultats majeurs : *Théorème de Gödel (1938) : Si ZFC est non contradictoire, alors ¬HC n'est pas prouvable à partir de ZFC. Théorème de Cohen (1963) : Si ZFC est non contradictoire, alors HC n'est pas prouvable à partir de ZFC. Il serait toutefois… Lire la suite

2.  ENSEMBLES (THÉORIE DES) - Théorie axiomatique

Écrit par : Jacques STERN

Dans le chapitre "Les limites de ZF"  : … de réfléchir à la nature mathématique de résultats tels que I et II, qu'on appelle résultats de *non-contradiction relative. Tout d'abord, rappelons que le théorème d'incomplétude de Gödel exclut toute démonstration de non-contradiction absolue : on ne peut établir dans ZF que ZF est non contradictoire et cela vaut également pour toutes les… Lire la suite

3.  ERREUR

Écrit par : Bertrand SAINT-SERNIN

Dans le chapitre "L'erreur en mathématiques"  : … du même coup, indirectement, leur consistance. Dans cette perspective, la vérité se confond avec la *non-contradiction et l'erreur avec l'inconsistance. On s'est donc demandé si toutes les mathématiques ne pouvaient pas être reconstruites à partir de bases logiques, dont les signes et les règles seraient exhaustivement énoncés et dénombrés. L'… Lire la suite

4.  FONDATIONNALISME ET ANTIFONDATIONNALISME, mathématique

Écrit par : Jean-Paul DELAHAYE

…  mathématique. Cependant, ce projet n'est plus à l'ordre du jour pour deux raisons au moins. *Tout d'abord, l'inquiétude du début du xx^e siècle est aujourd'hui essentiellement oubliée, car aucune contradiction n'est apparue dans la version axiomatisée de la théorie des ensembles, notée ZF, mise au point par Ernst Zermelo (… Lire la suite

5.  GÖDEL KURT (1906-1978)

Écrit par : Daniel ANDLER

Dans le chapitre "L'œuvre"  : … de Cantor, reprise par Hilbert, une surprenante réponse, qui constituait le premier résultat de *non-contradiction relative. Si la théorie des ensembles est cohérente, cette théorie enrichie de l'axiome du choix et de l'hypothèse généralisée du continu est cohérente. La notion d'univers constructible employée par Gödel dans ce… Lire la suite

6.  HILBERT DAVID (1862-1943)

Écrit par : Rüdiger INHETVEEN, Jean-Michel KANTOR, Christian THIEL

Dans le chapitre "La méthode axiomatique"  : … droite », « plan » le sont par les axiomes hilbertiens de la géométrie euclidienne. Prouver la *non-contradiction de ce système d'axiomes, et par suite de l'analyse classique, serait du plus grand intérêt, indépendamment même de la démonstration de la non-contradiction absolue de la géométrie euclidienne qui en découlerait. Cette démonstration… Lire la suite

7.  MATHÉMATIQUES FONDEMENTS DES

Écrit par : Jean Toussaint DESANTI

Dans le chapitre "Le « calcul » de Leibniz"  : … non déductibles les unes des autres utilisées dans la construction des chaînes démonstratives. La *non-contradiction est ici la propriété fondamentale à laquelle doivent satisfaire tous les systèmes déductifs. L'instrument de cette recherche consiste en un usage explicite et réglé de la pensée symbolique. L'algèbre devient ainsi une méthode d'… Lire la suite

8.  OBJET MATHÉMATIQUE

Écrit par : Patrick DEHORNOY

…  Peano affirment l'existence d'objets ayant telles et telles propriétés, mais ne la démontrent pas. *On pourra objecter que ces axiomes ne sauraient être contradictoires puisque les entiers existent : le sens de cette affirmation est vague, et, d'autre part, il n'est pas démontré que les entiers vérifient les axiomes de Peano. De plus, le théorème d… Lire la suite

9.  PLATON (~428 env.-env. ~347)

Écrit par : Monique DIXSAUT

Dans le chapitre "L'être et le non-être"  : … de principes comme l'eau, l'air ou le feu. Il n'a pu le faire qu'en appliquant un principe de *non-contradiction fort : l'être, nécessairement, est ; il expulse hors de lui un non-être qui, tout aussi nécessairement, n'est pas. Or, au même titre que l'un absolument un, l'être absolument étant est impensable et indicible. Il faut donc commettre… Lire la suite

10.  RÉALISME, mathématique

Écrit par : Hourya BENIS-SINACEUR

Dans le chapitre "Le réalisme et l'infini"  : … et la distinction de totalités infinies différentes correspond à une loi de la pensée. *Une caractérisation axiomatique est donc recevable, pourvu qu'elle soit non contradictoire. Elle assure la « réalité immanente » de l'infini actuel. Le réalisme mathématique s'appuie fortement sur le critère idéaliste de la vérité : l'absence de… Lire la suite

11.  SCIENCES - Sciences et discours rationnel

Écrit par : Jean LADRIÈRE

Dans le chapitre "Les divers types de science et leurs modes de validation : le type formel pur"  : … jour une nouvelle conception de l'axiomatique, selon laquelle le critère ultime de validité est la *non-contradiction. Il s'agit là d'une propriété purement formelle. Selon ce critère, on éprouvera conjointement la validité des règles et celle des axiomes selon le processus suivant. Soit une théorie fondée sur un ensemble d'axiomes A et utilisant… Lire la suite