3. Indépendance algébrique de nombres transcendants
La transcendance d'un nombre α signifie qu'il n'est pas racine d'un polynôme à coefficients entiers. Plus généralement, n nombres complexes α1, α2, ..., αn sont dits algébriquement indépendants s'il n'existe aucun polynôme non nul P(T1, ..., Tn) à n indéterminées et à coefficients entiers tel que P(α1, ..., αn), = 0, ce qui implique bien entendu que α1, ..., αn sont transcendants. On n'a que peu de résultats sur cette question ; par exemple, on ignore si e et π sont algébriquement indépendants. On conjecture que, sous les conditions (a) du théorème IV, les zj sont algébriquement indépendants.
Les résultats positifs les plus intéressants sont les suivants :
Théorème V (Lindemann). Si α1, ..., αn sont des nombres algébriques linéairement indépendants sur Q, les nombres eα1, ..., eαn sont algébriquement indépendants.
Théorème VI (Siegel). Si J′0 est la fonction de Bessel d'indice 0, alors les nombres J0(α) et J′0(α) sont algébriquement indépendants pour tout nombre algébrique α ≠ 0.
Une même méthode, due à Siegel, permet de démontrer ces deux résultats. Elle applique une idée analogue à celle de la démonstration du théorème II, utilisant le fait que les fonctions eaz et J0(z) vérifient une équation différentielle linéaire homogène et des majorations tirées de la théorie des fonctions analytiques ; mais les détails de la démonstration sont beaucoup plus délicats et compliqués.
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