Dans la plupart des civilisations parvenues au stade de l'écriture, les nombres entiers ont, dès l'origine, été liés à des pratiques religieuses ou magiques, et leurs propriétés ont exercé une sorte de fascination sur les esprits, qui est loin d'être disparue de nos jours, où la « numérologie » conserve des adeptes ; il n'est donc pas étonnant que ce soit au sein de l'école pythagoricienne, imbue de mysticisme, qu'ait débuté l'étude scientifique de ces propriétés. Cette école entendait d'ailleurs mener de front les développements de la géométrie et de l'arithmétique en une « arithmogéométrie » où certains types de nombres étaient associés à des figures ; on associait par exemple, de façon assez naturelle, les nombres n2 aux figures carrées : c'est ainsi que les pythagoriciens découvrent la formule 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) = n2 en inscrivant dans un carré de côté n les carrés de côtés 1, 2, ..., n − 1 ayant un même sommet. C'est aussi dans cette école, avec les « catégories » du pair et de l'impair, que commencent les réflexions sur la divisibilité : elles aboutissent, deux siècles plus tard, au magistral exposé d'Euclide. On sait qu'il démontre (aux notations près) l'existence et l'unicité de la décomposition d'un entier positif en facteurs premiers, et, par un raisonnement très ingénieux, l'existence d'une infinité de nombres premiers.
Aux pythagoriciens remontent également les premiers exemples d'équations diophantiennes, notamment la résolution de l'équation p2 + q2 = r2 en nombres entiers ; c'était, dans leur « arithmogéométrie », la recherche des triangles rectangles à côtés commensurables. Diophante d'Alexandrie lui-même (sans doute au ive siècle apr. J.-C.), s'il traite un grand nombre d'exemples de telles équations ou systèmes d'équations, ne s'intéresse en général qu'à la recherche de solutions en nombres rationnels, non nécessairement entiers. Mis à part quelques résultats isolés des mathématiques chinoise et indo-arabe sur des équations diophantiennes du premier et du second degré, la théorie des nom […]
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