2. La théorie multiplicative
• Le point de vue formel
On a vu supra (cf. Le point de vue formel, in chap. 1) que le monoïde multiplicatif N * vérifie la condition (D), et qu'on peut donc définir son algèbre large sur un corps K ; on se bornera encore au cas où K = C, et on notera D cette algèbre large. On note ici n−ω l'élément un de la base canonique de C[N*], et cette fois, un élément f ∈ D se note :
et on dit que c'est une
série formelle de Dirichlet. Le produit de deux éléments
f et
g de D se note aussi
f * g et est défini par :
ce qui s'écrit encore :
Pour qu'une série formelle de Dirichlet :
ait un
inverse dans D, il faut et il suffit que
f (1) ≠ 0. L'
ordre d'une série formelle de Dirichlet :
non nulle est encore défini comme le plus petit entier
n tel que
f(
n) ≠ 0. On voit qu'on peut encore définir dans D la
somme infinie (4) et le
produit infini (5) lorsque l'ordre de
f n tend vers + ∞ avec
n. Si on convient d'écrire F(ω) une série formelle de Dirichlet :[…]
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