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NOMBRES (THÉORIE DES) Nombres p-adiques

2.  Équations p-adiques ; lemme de Hensel

Revenons aux considérations du début et étudions un système d'équations :

où α = 1, 2, ..., r et où les fα sont des polynômes à coefficients dans Zp ; on cherche les solutions (x1x2, ..., xm) dans (Zp)m. Par réduction modulo pn, on en déduit un système d'équations fα,n = 0 dans Z/pnZ. Pour que le système étudié ait une solution dans (Zp)m, il faut et il suffit que pour tout n le système réduit mod pn ait une solution dans (Z/pnZ)m. En effet, une solution dans (Zp)m n'est autre qu'une suite de solutions mod pn pour tous les n, qui se correspondent par les applications canoniques ϕkn ; si Xn ⊂ (Z/pnZ)m désigne l'ensemble des solutions mod pn, on voit que l'image dans Xn de l'image X des solutions dans (Zp)m est :
qui est non vide si chaque Xq est non vide (intersection décroissante d'ensembles finis non vides ; en termes plus savants, on observe que X est limite projective des Xn et que la limite projective d'une suite d'ensembles finis non vides est non vide).

De la même manière, on prouve que l'existence d'une solution primitive dans (Zp)m équivaut à l'existence d'une solution primitive mod pn

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Pour citer cet article

Christian HOUZEL, « NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres p-adiques  », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le  . URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/nombres-theorie-des-nombres-p-adiques/

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BAKER ALAN (1939- )
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CASSELS JOHN WILLIAM SCOTT (1922- )
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