NOMBRES (THÉORIE DES) Nombres p-adiques

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On peut aborder l'étude d'un problème diophantien (cf. équations diophantiennes) en commençant par chercher les solutions modulo p, un nombre premier quelconque : on est alors devant un problème plus facile, car Z/pZ est un corps. Cette méthode ne donne qu'une information insuffisante pour le problème initial ; on la raffine en étudiant les équations modulo p^m pour tous les entiers m ≥ 1. L'anneau Z/p^mZ n'est pas un corps, mais ses propriétés arithmétiques sont beaucoup plus simples que celles de Z : c'est un anneau fini qui a un seul idéal premier (engendré par la classe de p) ; les autres idéaux sont les puissances de l'idéal premier.

Supposons maintenant qu'on connaisse une solution x_m ∈ Z/p^mZ du problème modulo p^m ; pour tout k ≤ m, on en déduit une solution x_k mod p^k au moyen de l'application canonique évidente :

provenant de l'application identique de Z. Ces considérations nous conduisent à introduire les suites (x_m) telles que x_m ∈ Z/p Z pour tout m et x_k = ϕ_km(x_m) pour k ≤ m. L'ensemble Z_p de ces suites est ainsi une partie du produit :

et c'est même un sous-anneau pour la structure d'anneau produit (car les ϕ_km sont des homomorphismes d'anneaux) ; on dit que c'est la limite projective des anneaux Z/p^mZ. L'anneau Z_p ainsi défini s'appelle l'anneau des entiers p-adiques ; la méthode d'approche d'un problème diophantien envisagée plus haut consiste à étudier d'abord le problème dans Z_p. Dans cet article, on donne les principales propriétés arithmétiques de cet anneau.

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NOMBRES (THÉORIE DES): Écrit par : Jean DIEUDONNÉ
Dans la plupart des civilisations parvenues au stade de l'écriture, les nombres entiers ont, dès l'origine, été liés à des pratiques religieuses ou magiques, et leurs propriétés ont exercé une sorte de fascination sur les esprits, qui est loin d'être disparue de nos jours, où la « numérologie » conserve des adeptes ; il n'est donc pas… Lire la suite
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NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres algébriques: Écrit par : Christian HOUZEL
Les mathématiciens grecs avaient découvert que certains rapports de grandeurs ne sont pas rationnels, c'est-à-dire qu'ils ne sont pas égaux au rapport de deux entiers : il en est ainsi du rapport de la diagonale d'un carré à son côté, puisque aucun nombre rationnel n'a un carré égal à 2. Plus généralement, Théétète (v^e s. avant… Lire la suite
ARITHMÉTIQUES (Diophante): Écrit par : Bernard PIRE
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ARTIN EMIL (1898-1962): Écrit par : Jean-Luc VERLEY
Dans le chapitre "Corps de nombres algébriques et théorie du corps de classe" : … La part la plus importante de l'œuvre d'Artin concerne l'étude des corps de nombres algébriques et* l'application des résultats obtenus à la théorie des nombres. Pour tout corps de nombres algébriques K, on peut considérer une fonction ζk(s), appelée la fonction zêta de Dedekind, qui généralise la fonction zêta de Riemann (… Lire la suite
BAKER ALAN (1939- ): Écrit par : Bernard PIRE
… *Mathématicien britannique, lauréat de la médaille Fields en 1970 pour ses travaux en théorie des nombres. Né le 19 août 1939 à Londres, Alan Baker fait ses études supérieures à l'University College de Londres puis au Trinity College de Cambridge où il soutient sa thèse de doctorat en 1964. Il est nommé professeur à l'université de Cambridge en 1966… Lire la suite
BOMBIERI ENRICO (1940- ): Écrit par : Bernard PIRE
… *Mathématicien italien, lauréat de la médaille Fields en 1974 pour ses travaux en théorie des nombres. Né le 26 novembre 1940 à Milan (Italie), Enrico Bombieri soutient, en 1963, sa thèse de doctorat à l'université de Milan. Professeur à l'université de Pise de 1966 à 1973, il enseigne à partir de 1974 à l'École normale supérieure de Pise et occupe… Lire la suite
CASSELS JOHN WILLIAM SCOTT (1922- ): Écrit par : Bernard PIRE
… *Mathématicien britannique, spécialiste de la théorie des nombres. Né le 11 juillet 1922 à Durham, John William Scott Cassels est le fils du directeur de l'agriculture du comté de Durham dans le nord de l'Angleterre. Après des études secondaires et supérieures à Édimbourg (Écosse), il est admis en 1943 au Trinity College de l'université de Cambridge… Lire la suite
CHEVALLEY CLAUDE (1909-1984): Écrit par : Jean DIEUDONNÉ
… *Fils d'ambassadeur, né à Johannesburg, Chevalley a fait la plus grande partie de ses études à Paris, où il fut élève de l'École normale supérieure, de 1926 à 1929. Il a enseigné à l'université de Rennes, puis aux États-Unis, aux universités de Princeton et de Columbia (New York). Il termina sa carrière comme professeur et correspondant de l'… Lire la suite
DICKSON LEONARD EUGENE (1874-1954): Écrit par : Jacques MEYER
… *Mathématicien américain, né à Independence dans l'Iowa et mort à Harlingen, dans le Texas. Dickson fit ses premières études à l'université du Texas, avant de les poursuivre à Chicago, à Leipzig et à Paris. Il enseigna à l'université de Chicago de 1900 jusqu'en 1941, date de sa retraite. Il fut membre de la National Academy of Sciences (1913), de la… Lire la suite
DIOPHANTE D'ALEXANDRIE: Écrit par : Roshdi RASHED
Dans le chapitre "Organisation et nature des « Arithmétiques »" : … y est clair : édifier une théorie mathématique dont les éléments constitutifs seraient les *nombres, considérés comme pluralités d'unités, et les parties fractionnaires comme fractions de grandeurs. Ces éléments de la théorie ne sont pas seulement présents « en personne », mais aussi comme espèces des nombres. On peut montrer que cette… Lire la suite
DIRICHLET PETER GUSTAV LEJEUNE- (1805-1859): Écrit par : Jean DIEUDONNÉ
Dans le chapitre "Théorie des nombres" : … Dirichlet était un des rares mathématiciens de sa génération à connaître à fond* les Disquisitiones arithmeticae de Gauss qui ne quittaient jamais sa table de travail et où il a puisé mainte inspiration : il est très souvent revenu aux problèmes de la théorie des formes quadratiques binaires et ternaires, et a généralisé cette théorie aux… Lire la suite
DRINFELD VLADIMIR GERSHONOVITCH (1954- ): Écrit par : Bernard PIRE
… en 1988. Il est, depuis 1985, membre de l'institut de physique des basses températures de Kharkov. *Les contributions de Drinfeld couvrent des domaines variés des mathématiques, de la géométrie algébrique à la théorie des nombres et à la physique mathématique. La médaille Fields récompense sa démonstration d'une conjecture due à Robert Langlands… Lire la suite
EISENSTEIN FERDINAND GOTTHOLD MAX (1823-1852): Écrit par : Jeanne PEIFFER
… *Mathématicien allemand, né et mort à Berlin. Théoricien des nombres, fortement influencé par Gauss, Eisenstein trouva la source de son inspiration dans le calcul algorithmique et les formules. De constitution fragile, sombrant jeune dans une mélancolie pathologique, il avait comme mathématicien une puissance de production inouïe. De 1833 à 1837,… Lire la suite
ERDÖS PAUL (1913-1996): Écrit par : Jean-Louis NICOLAS
… pendant la guerre. Plusieurs membres de sa famille restés en Hongrie furent tués par les nazis. *Dans son premier article, publié en 1932, il redémontre un théorème établi par le russe Pafnoutii Lvovitch Tchebychev un siècle plus tôt : entre un nombre et son double il y a toujours un nombre premier. Sa démonstration est plus simple et plus… Lire la suite
FERMAT PIERRE DE (1601-1665): Écrit par : Catherine GOLDSTEIN, Jean ITARD, Universalis
Dans le chapitre "Théories des nombres" : … ses propres notes manuscrites, a disparu, détruit probablement en 1670, pour la réimpression. Dans* ces notes et dans certaines de ses lettres, il fonde la théorie moderne des nombres. Ses successeurs immédiats seront Euler et Lagrange auxquels, par ses écrits posthumes de 1670 et 1679, il insufflera son enthousiasme. Il crée la technique de la « … Lire la suite
GERMAIN SOPHIE (1776-1831): Écrit par : Jean MEYER
… *Née à Paris, Sophie Germain suivit les cours de l'École polytechnique par correspondance (car les femmes n'y étaient pas admises). S'intéressant aux mathématiques, elle devint l'amie de J. L. Lagrange et de C. F. Gauss, avec qui elle correspondit sous le pseudonyme masculin de M. Leblanc avant de révéler sa véritable identité. Gauss l'estimait… Lire la suite
GOLDBACH CHRISTIAN (1690-1764): Écrit par : Bernard PIRE
… *Mathématicien prussien ayant effectué la majeure partie de sa carrière en Russie, connu pour ses travaux en théorie des nombres. Né le 18 mars 1690 à Königsberg en Prusse (actuellement Kaliningrad en Russie), Christian Goldbach était le fils d'un pasteur. Dès 1710, il entreprend ses premiers voyages en Europe, au cours desquels il rencontre les… Lire la suite
GORDAN PAUL ALBERT (1837-1912): Écrit par : Jeanne PEIFFER
… *Algébriste allemand, né et mort à Erlangeus, Paul Gordan fut pendant plusieurs années employé de banque avant d'entreprendre des études universitaires à Breslau, Königsberg et Berlin, où il suivit des cours de Ernst Kummer sur la théorie des nombres. Après avoir soutenu une thèse de doctorat (1862) sur la géodésie sur les sphéroïdes, il fit un… Lire la suite
GROTHENDIECK ALEXANDER (1928- ): Écrit par : Jean DIEUDONNÉ
… *Né à Berlin ( ?) d'un père russe (assassiné par les nazis) et d'une mère allemande, Grothendieck est venu comme réfugié en France à l'âge de treize ans et y a toujours vécu depuis, restant longtemps apatride par respect des convictions philosophiques de son père. Professeur à l'Institut des hautes études scientifiques de 1960 à 1969, il a renoncé… Lire la suite
HARDY GODFREY HAROLD (1877-1947): Écrit par : Jacques MEYER
… *Mathématicien anglais, né à Granleigh, dans le Surrey, et mort à Cambridge. Godfrey Harold Hardy fit ses études au Trinity College de Cambridge, où il enseigna de 1906 à 1919. En 1908, il découvre, en même temps que le physicien W. Weinberg, mais indépendamment de lui, la loi de Hardy-Weinberg, qui décrit l'équilibre génétique au sein d'une… Lire la suite
HENSEL KURT (1861-1941): Écrit par : Jean-Luc VERLEY
… *Mathématicien allemand, Kurt Hensel est né le 21 décembre 1861 à Königsberg et mort le 1^er juin 1941 à Marburg. Il est le créateur de la théorie des nombres p-adiques. Kurt Hensel soutint en 1886 sa thèse, à Berlin, devant Kronecker, avec qui il était très lié. Il enseigna à Berlin, puis, à partir de 1901, à l'université de… Lire la suite
ISLAM (La civilisation islamique) - Les mathématiques et les autres sciences: Écrit par : Georges C. ANAWATI, Roshdi RASHED, Universalis
Dans le chapitre "La théorie classique des nombres" : … La contribution des mathématiciens de l'époque à la *théorie des nombres ne se borna pas à l'analyse diophantienne entière. Deux autres courants de recherche, partant de deux points distincts, ont abouti à l'extension et au renouvellement de la théorie hellénistique des nombres. Le premier courant avait pour source, mais aussi pour modèle, les trois… Lire la suite
JACOBI CARL (1804-1851): Écrit par : Jean ITARD
Dans le chapitre "Fonctions elliptiques" : … ultérieurs complètent ces résultats et donnent d'innombrables applications à la géométrie et à la *théorie des nombres. Signalons, par exemple, l'établissement de la relation entre les rayons et la distance des centres de deux cercles dont l'un est inscrit et l'autre circonscrit à un même polygone de n côtés, la détermination des… Lire la suite
JORDAN CAMILLE (1838-1921): Écrit par : Jean-Luc VERLEY
Dans le chapitre "Algèbre linéaire et théorie des nombres" : … et sur la théorie des invariants. Les résultats les plus importants obtenus par Jordan en* théorie des nombres sont relatifs aux formes à coefficients entiers (ou à coefficients entiers de Gauss). Par des majorations généralisant celles d'Hermite, il montre que, si une telle forme F est de degré m > 2 et de discriminant non… Lire la suite
LAGRANGE JOSEPH LOUIS (1736-1813): Écrit par : Jean ITARD, Universalis
Dans le chapitre "L'œuvre de Lagrange" : … « diversifier ses travaux », Lagrange donne, de 1767 à 1777, des études capitales de théorie des *nombres, domaine où il se trouve à peu près seul avec son modèle vénéré Euler. C'est ainsi qu'il résout les problèmes indéterminés du second degré et qu'il apporte la première solution générale et rigoureuse de l'équation de Fermat : il démontre… Lire la suite
LANDAU EDMUND (1877-1938): Écrit par : Jacques MEYER
… *Mathématicien allemand né et mort à Berlin. Edmund Landau fit ses études au lycée français de cette ville, puis à son université où il suivit les cours de Georg F. Frobenius. Docteur en mathématiques en 1899, il commença à enseigner deux ans plus tard. Il fut nommé en 1909 professeur à Göttingen et participa, aux côtés de Christian F. Klein et de… Lire la suite
LEGENDRE ADRIEN MARIE (1752-1833): Écrit par : Jacques MEYER
… *Mathématicien français né le 18 septembre 1752 à Paris et mort le 10 janvier 1833 dans la même ville. L'ouvrage qui rendit célèbre Adrien Marie Legendre a pour titre Éléments de géométrie (1794). Il représente un des premiers essais de formalisation rigoureuse de la géométrie, et il devait exercer une très grande influence sur les… Lire la suite
MARKOV ANDREÏ ANDREÏEVITCH (1856-1922): Écrit par : Universalis
… *Mathématicien russe né à Riazan et mort à Petrograd. Andreï Andreïevitch Markov est connu comme un spécialiste de la théorie des nombres, de la théorie des probabilités et de l'analyse mathématique. Issu d'une famille d'un petit fonctionnaire du gouvernement, il fait ses études à l'université de Saint-Pétersbourg et reçoit une médaille d'or pour… Lire la suite
MINKOWSKI HERMANN (1864-1909): Écrit par : Jean-Luc VERLEY
… *Mathématicien allemand né en Russie, à Alexoten, et mort à Göttingen. Hermann Minkowski habita Königsberg dès sa plus tendre enfance, et il fit ses études universitaires à Königsberg et à Berlin. De 1887 à 1902, il enseigna successivement à l'université de Bonn et à l'université de Königsberg, puis à l'École polytechnique de Zurich, où il eut comme… Lire la suite
MORDELL LOUIS JOËL (1888-1972): Écrit par : Bernard PIRE
… *Mathématicien américain naturalisé britannique en 1929, spécialiste de la théorie des nombres. Né le 28 janvier 1888 à Philadelphie en Pennsylvanie (États-Unis), Louis Joël Mordell est le fils d'émigrants juifs lituaniens installés à Philadelphie en 1881. Passionné par les mathématiques dès son plus jeune âge, il rêve d'aller étudier à l'université… Lire la suite
PROBABILITÉS CALCUL DES: Écrit par : Daniel DUGUÉ
Dans le chapitre "Probabilités en arithmétique" : … Deux *nombres entiers positifs étant choisis « au hasard », quelle est la probabilité pour qu'ils soient premiers entre eux ? Ici encore, il faut préciser l'expression « au hasard » ; elle voudrait signifier « en donnant la même probabilité à chaque entier positif », mais il n'est pas possible de donner directement cette égalité de chances : si elle… Lire la suite
RECHERCHES ARITHMÉTIQUES (C. F. Gauss): Écrit par : Bernard PIRE
*Les Recherches arithmétiques (Disquisitiones arithmeticae) que Carl Friedrich Gauss (1777-1855) publie à Brunswick en 1801 marquent un progrès fondamental en théorie des nombres. Les quatre premières sections sont consacrées aux congruences et, selon la Préface même de l'auteur, contiennent peu de… Lire la suite
RELATION: Écrit par : Jean LADRIÈRE
Dans le chapitre "Les relations selon Bertrand Russell" : … trouve une application particulièrement remarquable dans la célèbre définition de la notion de *nombre cardinal, selon laquelle le nombre (cardinal) d'une classe est « la classe de toutes les classes semblables à la classe donnée ». La relation de similitude utilisée est une relation réflexive, symétrique et transitive : deux classes sont dites… Lire la suite
ROBINSON ABRAHAM (1918-1974): Écrit par : Daniel ANDLER
… *Mathématicien et logicien américain d'origine allemande. Né à Waldenburg, en Allemagne (l'actuelle Walbrzych polonaise), dans une famille intellectuelle sioniste, Abraham Robinson émigre en Palestine avec sa famille en 1933. Tout en gagnant sa vie et en suivant l'entraînement militaire de la Haganah, il étudie les mathématiques à l'université… Lire la suite
ROBINSON JULIA (1919-1985): Écrit par : Gabriel SABBAGH
… également là des premiers résultats logiques nécessitant des connaissances non rudimentaires en *théorie des nombres. Elle revint au sujet en 1959 (« The Undecidability of algebraic rings and fields », Proceedings of the American Mathematical Society) en montrant que la théorie de toute extension algébrique de degré fini du corps des… Lire la suite
ROTH KLAUS FRIEDRICH (1925- ): Écrit par : Bernard PIRE
… *Mathématicien britannique, lauréat de la médaille Fields en 1958 pour ses travaux en théorie des nombres. Né allemand le 29 octobre 1925 à Breslau, ville devenue polonaise en 1945 sous le nom de Wrocław, Klaus Friedrich Roth fait ses études supérieures à l'université de Cambridge, puis à l'université de Londres où il obtient son doctorat en 1950.… Lire la suite
SELBERG ATLE (1917-2007): Écrit par : Bernard PIRE
… *Mathématicien norvégien, lauréat de la médaille Fields en 1950 pour ses travaux en théorie des nombres. Né le 14 juin 1917 à Langesund (Norvège), mort le 6 août 2007 à Princeton, Atle Selberg fait ses études supérieures à l'université d'Oslo, où il obtient son doctorat en 1943. Chercheur à Oslo jusqu'en 1947, il devient boursier puis membre de l'… Lire la suite
SIEGEL CARL LUDWIG (1896-1981): Écrit par : Jean DIEUDONNÉ
… *Mathématicien allemand, né à Berlin et mort à Göttingen, dont les travaux portent principalement sur la théorie des nombres et les fonctions automorphes. Carl Ludwig Siegel fut l'élève de G. F. Frobenius ; il enseigna aux universités de Francfort et de Göttingen et fut membre de l'Institute for Advanced Study de Princeton à partir de 1940, ayant… Lire la suite
SKOLEM ALBERT THORALF (1887-1963): Écrit par : Gabriel SABBAGH
… *Logicien et mathématicien norvégien né à Sandsvaer et mort à Oslo. Ses travaux en algèbre (théorème de Skolem-Noether pour les algèbres associatives) et en théorie des nombres (introduction des méthodes p-adiques dans la théorie des équations diophantiennes), qui lui vaudraient, en tout état de cause, un rang honorable parmi les… Lire la suite
STIELTJES THOMAS-JEAN (1856-1894): Écrit par : Jeanne PEIFFER
… *Mathématicien né le 29 décembre 1856 à Zwolle (Pays-Bas), mort le 31 décembre 1894 à Toulouse. Sentant une profonde vocation pour les travaux théoriques, Thomas Stieltjes fit le tour de toute l'analyse de son époque. Sa méthode de recherche s'apparentait à celle de Gauss : découvrir les lois générales à travers les particularités de l'exemple. Fils… Lire la suite
SYLVESTER JAMES JOSEPH (1814-1897): Écrit par : Universalis
… *Mathématicien anglais, né et mort à Londres, qui a créé avec Arthur Cayley la théorie des invariants algébriques. En 1838, James Joseph Sylvester devint professeur de philosophie naturelle au collège de l'université de Londres. En 1841, il accepta la chaire de mathématiques de l'université de Virginie (Charlottesville), mais donna sa démission au… Lire la suite
TATE JOHN (1925- ): Écrit par : Bernard PIRE
… américain John Torrence Tate « pour l'étendue et le caractère durable de son influence sur la *théorie des nombres ». Développée au cours du xx^e siècle en l'une des branches les plus élaborées et sophistiquées des mathématiques, cette théorie a tissé des liens de plus en plus nombreux avec les autres domaines des… Lire la suite
TCHEBYCHEV PAFNOUTIÏ LVOVITCH (1821-1894): Écrit par : Georges GLAESER
Dans le chapitre "Théorie des nombres" : … *Tchebychev a contribué à l'étude de la répartition des nombres premiers. Il démontre la conjecture de Bertrand selon laquelle, pour tout entier n supérieur à 6, il existe au moins un nombre premier compris entre n/2 et n − 2. D'autre part, il refuse la conjecture de Legendre qui pensait que n/(ln n − 1,… Lire la suite
VINOGRADOV IVAN MATVEÏEVITCH (1891-1983): Écrit par : Jacques MEYER
… *Mathématicien russe, né le 14 septembre 1861 à Milolioub (Velikie Louki) et mort le 20 mars 1983 à Moscou, membre de l'Académie des sciences de l'ex-U.R.S.S. et membre correspondant de l'Académie des sciences de Paris, ainsi que de nombreux autres pays. Alors qu'aux xviii^e et xix^e siècles on utilisait… Lire la suite
WARING EDWARD (1736-1798): Écrit par : Bernard PIRE
… *Mathématicien britannique, spécialiste d'algèbre et de théorie des nombres. Né en 1736 à Old Heath près de Shrewsbury en Angleterre, Edward Waring était le fils d'un paysan. Après des études élémentaires à l'école de Shrewsbury, Waring est admis au Magdalene College de l'université de Cambridge le 24 mars 1753, avec des frais de scolarité réduits… Lire la suite
WEBER HEINRICH MARTIN (1842-1913): Écrit par : Jeanne PEIFFER
… *Universalité. C'est le mot qui caractérise peut-être le mieux le mathématicien allemand Heinrich Weber. Esprit souple, il était capable de travailler dans des domaines très divers des mathématiques. Mais il concentra surtout ses recherches sur l'analyse et ses applications à la physique mathématique et obtint ses résultats les plus profonds en… Lire la suite
WEIL ANDRÉ (1906-1998): Écrit par : Jean DIEUDONNÉ
… *Mathématicien français né à Paris dont les travaux portent principalement sur la géométrie algébrique et ses applications à la théorie des nombres. André Weil entra à l'École normale supérieure à l'âge de seize ans ; il fut docteur ès sciences à vingt-deux ans, avec une thèse qui fit époque : il y étendait à toutes les courbes algébriques un… Lire la suite
WILES ANDREW JOHN (1953- ): Écrit par : Universalis
… de Princeton (New Jersey) en 1982. Il travaille sur un certain nombre de problèmes non résolus de la* théorie des nombres : la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer, la principale conjecture de la théorie d’Iwasawa, ainsi que la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil. Ses recherches sur cette dernière apportent la démonstration du grand théorème de… Lire la suite

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N130311

Auteur de l'article

Christian HOUZEL (directeur de recherche au C.N.R.S., professeur à l'université de Paris-VIII-Denis-Diderot)

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Composition de l'article

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