NOMBRES RATIONNELS

Ce sujet est traité dans les articles suivants :

1.  ANNEAUX COMMUTATIFS

Écrit par : Jean-Luc VERLEY

Dans le chapitre "Corps des fractions d'un anneau d'intégrité"  : … isomorphisme laissant A fixe près. » Pour faire comprendre la démonstration, analysons ce qu'est un *nombre rationnel. Un nombre rationnel u est « défini » par une fraction p/q, où p et q sont des entiers relatifs, mais deux fractions p/q et p′/q′, distinctes, possédant… Lire la suite

2.  CONSTRUCTION, mathématique

Écrit par : André WARUSFEL

… sont donnés, il est assez rare qu'il existe un relatif x tel que a = bx. *Un processus très analogue à celui qui nous a permis de passer de ℕ à ℤ donne naissance à l'ensemble ℚ des nombres rationnels (autrement dit des fractions). Cette fois-ci, le nouvel ensemble de nombres est presque parfait, puisqu'on peut partout… Lire la suite

3.  CORPS, mathématiques

Écrit par : Robert GERGONDEY,  Universalis

Dans le chapitre "Corps de nombres"  : … sous-corps de C forment une vaste famille à laquelle appartiennent le corps Q des *nombres rationnels (qui est le plus petit) et le corps R des nombres réels. Les corps de nombres algébriques (cf. théorie des nombres - Nombres algébriques) présentent un intérêt tout particulier. Dedekind en donne la description… Lire la suite

4.  ENSEMBLES (THÉORIE DES) - Théorie élémentaire

Écrit par : André ROUMANET, Jean-Luc VERLEY

Dans le chapitre "Ensemble quotient"  : … entre elles correspondent au même nombre rationnel ; par définition, on appellera *nombre rationnel tout élément de l'ensemble quotient : on a ici une construction mathématique rigoureuse des nombres rationnels à partir des entiers relatifs. Les exemples (4) et (5) permettraient de définir mathématiquement les notions de direction… Lire la suite

5.  ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES

Écrit par : Jean ITARD

Dans le chapitre "Troisième exemple"  : … connaissance des nombres négatifs. L'ouvrage d'où elle est extraite donne d'ailleurs les règles des signes pour les deux opérations fondamentales. Enfin le calculateur utilise les fractions dans leur généralité. En résumé, les mathématiciens chinois travaillaient, pour les systèmes d'équations affines, sur le corps Q des *nombres rationnels… Lire la suite

6.  GROUPES (mathématiques) - Groupes classiques et géométrie

Écrit par : Jean DIEUDONNÉ

Dans le chapitre "Généralisations"  : …  = 3 et, pour Φ, le produit scalaire usuel : mais sur le corps Q des *nombres rationnels ; les matrices U = (αij) ont donc leurs éléments rationnels, vérifiant en particulier les équations : pour i = 1, 2, 3. Or, pour toute solution de l'équation : en nombres… Lire la suite

7.  MÉTRIQUES ESPACES

Écrit par : Jean-Luc VERLEY

Dans le chapitre "Complétion d'un espace métrique"  : … La construction, due à Cantor, des nombres réels comme classes d'équivalence de suites de Cauchy de *nombres rationnels (« suites fondamentales » dans la terminologie cantorienne) se transpose sans modification à un espace métrique quelconque. Théorème de complétion. Pour tout espace métrique E, il existe un espace métrique complet E tel… Lire la suite

8.  NOMBRE

Écrit par : Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN

Dans le chapitre "Notion mathématique de nombre"  : … de couples d'éléments de ℕ, de telle façon qu'une nouvelle soustraction y soit toujours possible. *Diviser p par q (q ≠ 0ℤ, le « zéro » de ℤ) n'étant pas toujours possible dans ℤ, on construit l'ensemble des nombres rationnels ℚ, qui a pour éléments des ensembles de couples d'éléments de ℤ, de telle façon qu'… Lire la suite

9.  RÉELS NOMBRES

Écrit par : Jean DHOMBRES

Dans le chapitre "Les raisons"  : … porte encore la trace de cette assimilation puisqu'il qualifie ces rapports d'entiers de *nombres rationnels. Mais les raisons qui ne se réduisent pas à des rapports d'entiers n'en sont pas moins des raisons, même si on les qualifie aujourd'hui de nombres irrationnels. Eudoxe ne commet pas cette étrange pétition de langage… Lire la suite