Un nombre de Mersenne est un nombre entier naturel de la forme 2n – 1, où n est un nombre entier naturel. Ces nombres ont été nommés ainsi en l'honneur du Français Marin Mersenne (1588-1648), qui en avait entrepris l'étude.
Pour qu'un tel nombre, généralement noté Mn, soit premier (c'est-à-dire n'ait pas d'autre diviseur que 1 et lui-même), il faut que n (appelé l'indice de Mn) soit un nombre premier, mais cette condition n'est pas suffisante (M11, par exemple, n'est pas premier, bien que 11 le soit).
Le mathématicien français François Édouard Lucas (1842-1891) prouva en 1876 la primalité de M127 (qui resta jusqu'en 1952 le plus grand nombre premier connu et est encore le plus grand nombre de Mersenne dont la primalité a été prouvée sans ordinateur) et proposa en 1878 un test de primalité des nombres de Mersenne, dont la validité fut démontrée dans les années 1930 par le mathématicien américain Derrick Henry Lehmer (1905-1991) et qui s'appelle en conséquence test de Lucas-Lehmer : si p est un nombre premier, Mp est premier si et seulement si Mp divise Sp, où Sp appartient à la suite (Sn) définie par récurrence par S2 = 4 et Sn = (Sn – 1)2– 2. Par exemple, S3 = 14 et M3 = 7 divise 14.
Les nombres de Mersenne sont liés aux nombres parfaits, c'est-à-dire égaux à la somme de leurs diviseurs autres qu'eux-mêmes, car, si Mp est un nombre de Mersenne premier, alors 2p – 1 (2p – 1) est un nombre parfait, et tout nombre parfait pair est de cette forme.
On connaît donc autant de nombres parfaits pairs que de nombres de Mersenne premiers. Mais on ne sait ni s'il existe des nombres parfaits impairs, ni s'il existe une infinité de nombres de Mersenne premiers, et la recherche de ceux-ci est très difficile.
Nous ne connaissons en effet que quarante-quatre nombres de Mersenne premiers. Les valeurs des plus petits sont : M2 = 3 ; M3 = 7 ; M5 = 31 ; M7 = 127 ; M13 = 8 191 ; M17 = 131 071 ; M19 = 524 287 ; M31 = 2 147 483 647 ; M61 = 2 305 843 009 213 693 951 ; M89 = 618 970 019 642 690 137 449 562 […]
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