NOMBRES ALGÉBRIQUES

Ce sujet est traité dans les articles suivants :

1.  NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres algébriques

Écrit par : Christian HOUZEL

Les mathématiciens grecs avaient découvert que certains rapports de grandeurs ne sont pas rationnels, c'est-à-dire qu'ils ne sont pas égaux au rapport de deux entiers : il en est ainsi du rapport de la diagonale d'un carré à son côté, puisque aucun nombre rationnel n'a un carré égal à 2. Plus généralement, Théétète (v^e s. avant… Lire la suite

2.  BRAUER RICHARD (1901-1977)

Écrit par : Jean DIEUDONNÉ

… *Mathématicien américain d'origine allemande dont les travaux ont porté principalement sur la théorie des groupes finis. Né à Berlin, Brauer a enseigné à l'université de Koenigsberg, à celle de Toronto (Mi.) et à l'université Harvard. Brauer a débuté par d'importants travaux sur les algèbres simples, introduisant les notions de corps neutralisant et… Lire la suite

3.  CORPS, mathématiques

Écrit par : Robert GERGONDEY,  Universalis

Dans le chapitre "Corps de nombres"  : … nombres rationnels (qui est le plus petit) et le corps R des nombres réels. Les corps de *nombres algébriques (cf. théorie des nombres - Nombres algébriques) présentent un intérêt tout particulier. Dedekind en donne la description suivante : Soit x un nombre complexe algébrique, c'est-à-dire une racine d'une équation P(X… Lire la suite

4.  EISENSTEIN FERDINAND GOTTHOLD MAX (1823-1852)

Écrit par : Jeanne PEIFFER

… *Mathématicien allemand, né et mort à Berlin. Théoricien des nombres, fortement influencé par Gauss, Eisenstein trouva la source de son inspiration dans le calcul algorithmique et les formules. De constitution fragile, sombrant jeune dans une mélancolie pathologique, il avait comme mathématicien une puissance de production inouïe. De 1833 à 1837,… Lire la suite

5.  GAUSS CARL FRIEDRICH (1777-1855)

Écrit par : Pierre COSTABEL, Jean DIEUDONNÉ

Dans le chapitre "Le calcul sur les objets abstraits"  : … trente ans plus tard. Surtout, c'est Gauss qui donne l'impulsion à toute la grande théorie des *nombres algébriques, par son étude systématique de l'arithmétique des « entiers de Gauss » a + bi (a, b entiers rationnels) ; nous savons d'ailleurs qu'il avait ébauché des tentatives analogues pour d'autres… Lire la suite

6.  HECKE ERICH (1887-1947)

Écrit par : Jean DIEUDONNÉ

… *Né à Buk (Posnanie), Hecke fut l'élève de Hilbert à Göttingen, où il soutint sa thèse en 1912. Il enseigna brièvement à Bâle et à Göttingen, puis à Hambourg à partir de 1919, où il demeura jusqu'à sa mort. Hecke a consacré la quasi-totalité de ses recherches à la fascinante partie des mathématiques où se mêlent, depuis Gauss, fonctions elliptiques… Lire la suite

7.  HILBERT DAVID (1862-1943)

Écrit par : Rüdiger INHETVEEN, Jean-Michel KANTOR, Christian THIEL

Dans le chapitre "Théorie des nombres"  : … avoir ainsi clos de manière si complète la théorie des invariants, Hilbert se tourne vers la théorie* des nombres algébriques. Sa première contribution importante est la théorie des corps de Galois relatifs K sur un corps donné k de nombres algébriques, dans lequel il décrit, à partir des propriétés du groupe de Galois de K sur k,… Lire la suite

8.  HURWITZ ADOLF (1859-1919)

Écrit par : Jeanne PEIFFER

… *Élève de Felix Klein, Adolf Hurwitz représentait une tendance unificatrice en mathématiques. Avec ses étudiants Hilbert et Minkowski, il s'éleva contre le partage abusif des mathématiques en de nombreuses branches, non seulement suivant le sujet traité, mais même suivant la façon d'aborder une matière. On a pu comparer les mémoires de Hurwitz à des… Lire la suite

9.  KRONECKER LEOPOLD (1823-1891)

Écrit par : Jean DIEUDONNÉ

Dans le chapitre "Un arithméticien hors pair"  : … par où il inaugurait, dès les années 1853-1857, ce qui allait être le sujet principal de la* théorie des nombres algébriques dans la première moitié du xx^e siècle : la théorie du corps de classes. En 1853, il montrait que toute extension algébrique du corps Q des nombres rationnels est contenue dans le corps de… Lire la suite

10.  LEGENDRE ADRIEN MARIE (1752-1833)

Écrit par : Jacques MEYER

… *Mathématicien français né le 18 septembre 1752 à Paris et mort le 10 janvier 1833 dans la même ville. L'ouvrage qui rendit célèbre Adrien Marie Legendre a pour titre Éléments de géométrie (1794). Il représente un des premiers essais de formalisation rigoureuse de la géométrie, et il devait exercer une très grande influence sur les… Lire la suite

11.  QUADRATIQUES FORMES

Écrit par : Jean DIEUDONNÉ

… à équivalence près. On a toujours ν ≥ 0 pour rg(Q) ≥ 5. e) Le corps K est un corps de *nombres algébriques (cf. théorie des nombres - Nombres algébriques). Pour toute place v de K, le corps K se plonge canoniquement dans le corps local complété Kv, et on peut donc considérer une forme quadratique Q sur K comme… Lire la suite

12.  RÉELS NOMBRES

Écrit par : Jean DHOMBRES

Dans le chapitre "Classification des nombres réels"  : … purement algébrique des nombres réels, qui remonte à Legendre (1752-1833). On appelle *nombre algébrique toute solution d'une équation polynomiale à coefficients entiers (relatifs) ; ainsi 2 est-il algébrique comme solution de x… Lire la suite

13.  TRANSCENDANTS NOMBRES

Écrit par : Jean DIEUDONNÉ

… ce seulement au xvii^e siècle que l'on commence à faire la distinction entre les *nombres algébriques, tels 3/2 ou cos (π/n) pour n entier, qui sont racines de polynômes à coefficients … Lire la suite

14.  WEIL ANDRÉ (1906-1998)

Écrit par : Jean DIEUDONNÉ

… *Mathématicien français né à Paris dont les travaux portent principalement sur la géométrie algébrique et ses applications à la théorie des nombres. André Weil entra à l'École normale supérieure à l'âge de seize ans ; il fut docteur ès sciences à vingt-deux ans, avec une thèse qui fit époque : il y étendait à toutes les courbes algébriques un… Lire la suite

15.  ZÊTA FONCTION

Écrit par : Jean DIEUDONNÉ

Dans le chapitre "Fonction zêta et fonctions L d'un corps de nombres algébriques"  : … R. Dedekind généralisa la définition des fonctions zêta et L à un corps de *nombres algébriques k, en prenant : où a parcourt l'ensemble des idéaux entiers de k, où p parcourt l'ensemble des idéaux premiers, où Na est la norme de l'idéal a, c'est-à-dire le nombre d'éléments de o/a (où o est l'anneau des entiers de k) et où… Lire la suite