NOMBRE PREMIER

Ce sujet est traité dans les articles suivants :

1.  ALGORITHMIQUE

Écrit par : Philippe COLLARD, Philippe FLAJOLET

Dans le chapitre "Tests de primalité et de factorisation"  : … arithmétiques peut être de l'ordre de 2^n/2. La base de nombreux tests de *primalité est le « petit » théorème de Fermat, d'après lequel, si m est premier, pour tout a : 1 < a < m. Il en résulte que la découverte d'un entier a tel que a^m−1 /≡ 1 (mod … Lire la suite

2.  ANNEAUX COMMUTATIFS

Écrit par : Jean-Luc VERLEY

Dans le chapitre "Notions fondamentales"  : … associés. Pour terminer ces définitions, indiquons qu'un élément a de A* est dit *premier, ou irréductible, s'il n'est pas inversible et si pour toute décomposition a = bc ; b, c éléments de A*, l'un des deux facteurs b ou c est inversible. Un des problèmes… Lire la suite

3.  COMPLEXITÉ, mathématique

Écrit par : Jean-Paul DELAHAYE

Dans le chapitre "Les classes P et NP"  : … En 2002 par exemple, des chercheurs indiens ont démontré un résultat attendu depuis deux décennies :* le problème de savoir si un nombre est premier (problème de la primalité) est dans la classe P (le problème de la primalité n'est pas équivalent à celui de la décomposition en facteurs premiers, car on arrive parfois à savoir qu'un nombre n'est pas… Lire la suite

4.  DIOPHANTIENNES ÉQUATIONS

Écrit par : Jean-Louis COLLIOT-THÉLÈNE, Marcel DAVID,  Universalis

Dans le chapitre "Le grand théorème de Fermat"  : … . Kummer obtint des résultats spectaculaires, mais encore incomplets : le théorème de Fermat est vérifié pour *tout premier p pour lesquels le nombre de classes d'idéaux n'est pas divisible par p (un tel nombre p est appelé nombre premier régulier). Le théorème de Fermat a finalement été démontré par A. Wiles en 1993… Lire la suite

5.  DIVISIBILITÉ

Écrit par : Marcel DAVID

Dans le chapitre "Propriétés élémentaires"  : … pas obligatoirement l'une des relations a | b ou b | a. Un *nombre p ≠ 1 est dit premier s'il n'est divisible que par 1 et par lui-même. Soient a et b deux entiers positifs ; on montre qu'il existe un diviseur commun d de a et de b tel que les… Lire la suite

6.  EISENSTEIN FERDINAND GOTTHOLD MAX (1823-1852)

Écrit par : Jeanne PEIFFER

… *Mathématicien allemand, né et mort à Berlin. Théoricien des nombres, fortement influencé par Gauss, Eisenstein trouva la source de son inspiration dans le calcul algorithmique et les formules. De constitution fragile, sombrant jeune dans une mélancolie pathologique, il avait comme mathématicien une puissance de production inouïe. De 1833 à 1837,… Lire la suite

7.  ERDÖS PAUL (1913-1996)

Écrit par : Jean-Louis NICOLAS

… Pafnoutii Lvovitch Tchebychev un siècle plus tôt : entre un nombre et son double il y a toujours un *nombre premier. Sa démonstration est plus simple et plus élégante que celle de Tchebychev. En 1949, il donne avec Atle Selberg une preuve « élémentaire » du théorème des nombres premiers : le nombre de nombres premiers inférieurs à x est… Lire la suite

8.  EULER LEONHARD (1707-1783)

Écrit par : Christian HOUZEL, Jean ITARD

Dans le chapitre "Mathématiques"  : … la série ζ(s), s entier, en un produit infini faisant intervenir la suite des* nombres premiers ; la divergence de ζ(1) lui donne alors non seulement l'infinitude des nombres premiers, mais encore la divergence de la série des inverses des nombres premiers, et même un équivalent lglgn pour la somme des n … Lire la suite

9.  GÉNÉRATEUR, mathématique

Écrit par : André WARUSFEL

…  quand il en existe, de disposer de tels ensembles finis. Toutefois, c'est assez rarement le cas. *L'exemple le plus intéressant, très connu même en dehors des mathématiciens, est celui de l'ensemble ℕ^* des entiers naturels non nuls muni de la multiplication. Le plus petit ensemble de générateurs est ici celui des nombres premiers.… Lire la suite

10.  HILBERT DAVID (1862-1943)

Écrit par : Rüdiger INHETVEEN, Jean-Michel KANTOR, Christian THIEL

…  corps des nombres algébriques et Q celui des rationnels,

1. Si a est un *nombre algébrique différent de 0 et de 1 et si b est un irrationnel algébrique, alors a^b est transcendant,

2. Si a et b sont des nombres algébriques différents de 0 et de 1, alors log a/… Lire la suite

11.  INFORMATIQUE ET VÉRITÉ MATHÉMATIQUE

Écrit par : Jean-Paul DELAHAYE

Dans le chapitre "Preuves probabilistes de primalité"  : … *La cryptographie a fréquemment besoin de grands nombres premiers (de cent chiffres décimaux et plus) et aucune méthode sûre ne permet aujourd'hui d'en produire dans un délai raisonnable. On utilise donc ce qu'on appelle des algorithmes probabilistes. Le test probabiliste de primalité de Fermat en fournit un exemple élémentaire : choisir un nombre… Lire la suite

12.  ISLAM (La civilisation islamique) - Les mathématiques et les autres sciences

Écrit par : Georges C. ANAWATI, Roshdi RASHED,  Universalis

Dans le chapitre "La théorie classique des nombres"  : … parfaits. On ne doit pas s'étonner dans ces conditions que les mathématiciens reviennent aux *nombres premiers pour procéder à une tâche analogue. C'est précisément ce qu'a fait Ibn al-Haytham au cours de sa solution du problème dit du « reste chinois ». Il veut en effet résoudre le système de congruences linéaires x ≡ 1 (mod m… Lire la suite

13.  MERSENNE NOMBRES DE

Écrit par : Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN

…  ainsi en l'honneur du Français Marin Mersenne (1588-1648), qui en avait entrepris l'étude. Pour* qu'un tel nombre, généralement noté Mn, soit premier (c'est-à-dire n'ait pas d'autre diviseur que 1 et lui-même), il faut que n (appelé l'indice de Mn) soit un nombre premier, mais cette… Lire la suite

14.  NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres algébriques

Écrit par : Christian HOUZEL

Dans le chapitre "Lien avec les fonctions elliptiques"  : … que l'équation algébrique dont les racines sont les nombres sl(ω/p), où p est un *nombre premier de la forme 4 k + 1 et ω est l'une quelconque des périodes de la fonction sl, est résoluble par radicaux ; dans ce cas, p = m² + n² est le produit de deux entiers de Gauss m… Lire la suite