NOMBRE IDÉAL

Ce sujet est traité dans les articles suivants :

1.  ALGÈBRE

Écrit par : Jean-Luc VERLEY

Dans le chapitre "La théorie des idéaux"  : … comme produit d'éléments premiers. En 1845, après huit ans d'efforts, Kummer en introduisant ses *« nombres idéaux » (qu'on appelle maintenant des diviseurs) élucide complètement le problème de la division dans les anneaux cyclotomiques et démontre le théorème de Fermat dans de très nombreux cas. L'idée de Kummer est en gros la suivante : soit… Lire la suite

2.  DEDEKIND RICHARD (1831-1916)

Écrit par : Jean DIEUDONNÉ

…  fondateurs de l'algèbre moderne. Sa théorie des idéaux, systématisation et rationalisation des « * nombres idéaux » de Kummer, est en effet devenue l'outil essentiel pour étudier la divisibilité dans les anneaux les plus généraux et a donné une impulsion considérable à l'arithmétique en élargissant son champ d'action. Dedekind est aussi le… Lire la suite

3.  DIOPHANTIENNES ÉQUATIONS

Écrit par : Jean-Louis COLLIOT-THÉLÈNE, Marcel DAVID,  Universalis

Dans le chapitre "Le grand théorème de Fermat"  : … n'est pas toujours unique, et c'est à cette occasion que Kummer introduit la notion de *nombre idéal. Ces nombres idéaux, n'appartenant pas au corps envisagé, permettent la décomposition unique en facteurs idéaux premiers. Cette notion d'idéal fut précisée, un peu plus tard, d'un point de vue purement algébrique, par Dedekind.… Lire la suite

4.  KUMMER ERNST EDUARD (1810-1893)

Écrit par : Jean ITARD

Dans le chapitre "Les « nombres idéaux »"  : … Kummer crut un moment avoir démontré le théorème de Fermat, grâce à cette extension du concept de *nombre entier. Mais son ami Dirichlet, à qui il soumit son manuscrit, vers 1843, lui signala un point faible dans sa démonstration : si la décomposition d'un nombre en ses facteurs premiers est unique dans l'anneau Z des entiers et dans l'anneau de… Lire la suite

5.  NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres algébriques

Écrit par : Christian HOUZEL

Dans le chapitre "Les « nombres idéaux » de Kummer"  : … *Considérons, avec Kummer, un nombre premier impair λ et une racine λ-ième imaginaire α de 1 ; ainsi : L'équation de degré λ − 1 précédente est irréductible sur le corps Q des nombres rationnels, donc les nombres 1, α, α², ..., α^λ-2 sont linéairement indépendants sur Q ; les entiers cyclotomiques correspondant… Lire la suite