3. Les logiques modales contemporaines
Les fondateurs de la logique contemporaine, au début du xxe siècle – Frege, Russell et leurs successeurs –, ignorèrent la logique modale parce qu'ils entendaient limiter le domaine de la logique à la logique extensionnelle. Le renouveau de la logique modale au xxe siècle vint de l'application à l'étude des notions de nécessité et de possibilité des méthodes axiomatiques de la nouvelle logique. Ce qui distingue essentiellement la logique modale contemporaine de la syllogistique modale est le traitement syntaxique du nécessaire (dénoté « L ») et du possible (dénoté « M ») comme opérateurs sur des propositions (dans le style stoïcien plutôt qu'aristotélicien), permettant l'itération de ces opérateurs (par exemple : « L M p », « il est nécessairement possible que p »), qui permet de définir divers systèmes axiomatiques des modalités. Le fondateur de cette approche syntaxique, C. I. Lewis (1918), cherche à définir la notion d'implication stricte des Anciens ou celle de conséquence (consequentia) des médiévaux : « p implique strictement q » = non M (p et non q), afin notamment d'éviter les « paradoxes » de l'implication matérielle (par exemple : « non p ↦ (p ↦ q) ». Il y a une hiérarchie de systèmes modaux dont le plus simple (qui sera appelé T) comporte les trois axiomes :
(1) L p ↦ p (où « ↦ » dénote le conditionnel « si... alors »),
(2) L (p ↦ q) ↦ (L p ↦ L q),
(3) Si ⊢ A est un théorème, alors L A est un théorème (règle de nécessitation).
D'autres systèmes sont obtenus en ajoutant des axiomes à T. Parmi les plus courants, le système S4 de Lewis provient de l'adjonction aux axiomes de T de :
(4) L p ↦ LL p.
En d'autres termes, dans S4, tout ce qui est en fait nécessaire est nécessairement nécessaire, et tout ce qui est possible en fait pourrait être possible, ce qui est beaucoup plus fort que ce qu'on asserte dans T. On peut aussi soutenir que tout ce qui est possible est né […]
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