APPROXIMATIONS SUCCESSIVES MÉTHODES DES

Ce sujet est traité dans les articles suivants :

1.  DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Analyse numérique

Écrit par : Claude BARDOS, Martin ZERNER

Dans le chapitre "Principe des méthodes d'éléments finis"  : … en général par linéariser l'équation. Lorsqu'elle est non linéaire, on est amené à une méthode *itérative dont chaque pas est la résolution d'un problème aux dérivées partielles linéaires. Les calculs sont évidemment d'autant plus longs. Dans une première approche, on peut caractériser les méthodes d'éléments finis parmi les méthodes de Ritz-… Lire la suite

2.  DIFFÉRENTIELLES ÉQUATIONS

Écrit par : Christian COATMELEC, Maurice ROSEAU,  Universalis

Dans le chapitre "Existence des solutions"  : … (4), (5) on peut substituer l'équation intégrale équivalente : qui se prête fort bien au calcul d'*approximations successives inventé par Picard : avec x0 = c (cf. espaces métriques, chap. 7). On établit la convergence de la suite xm(t ) vers une fonction x(t… Lire la suite

3.  FONCTIONS REPRÉSENTATION & APPROXIMATION DES

Écrit par : Jean-Louis OVAERT, Jean-Luc VERLEY

Dans le chapitre "Méthode des approximations successives"  : … *Pour prouver l'existence et l'unicité et étudier les solutions d'équations portant sur des fonctions, on s'inspire du cas des équations numériques en généralisant la méthode des approximations successives au cadre abstrait des espaces métriques complets (cf. espaces métriques, chap. 3). Ce schéma s'applique en particulier au théorème d'… Lire la suite

4.  INTÉGRALES ÉQUATIONS

Écrit par : Michel HERVÉ,  Universalis

Dans le chapitre "Méthode des approximations successives"  : … *Supposons A compact, le noyau K continu sur A² et, de même, f dans l'espace de Banach C(A) formé des fonctions y continues sur A à valeurs complexes, avec la norme : Au noyau K est associé l'opérateur intégral : qui à la fonction y ∈ C(A… Lire la suite

5.  MÉTRIQUES ESPACES

Écrit par : Jean-Luc VERLEY

Dans le chapitre "La méthode des approximations successives"  : … *On doit à E. Picard une méthode de construction de solution d'équations par approximations successives (équations numériques, théorèmes d'existence et d'unicité d'équations différentielles ou intégrales ; cf. équations différentielles, chap. 1 ; équations intégrales, chap. 2) que l'on peut formuler de la manière suivante dans le… Lire la suite

6.  NUMÉRIQUE CALCUL

Écrit par : Jean-Louis OVAERT

Dans le chapitre "Méthode des approximations successives"  : …  − 4 sin³ x. Connaissant sin 3⁰, il en déduit sin 1⁰, en* résolvant par approximations successives l'équation : Plus précisément, on pose u0 = 0 et, pour tout entier naturel n, ici aussi, la convergence est extrêmement rapide, ainsi : On peut montrer a priori que le nombre … Lire la suite

7.  PICARD ÉMILE (1856-1941)

Écrit par : Michel HERVÉ

Dans le chapitre "La méthode de Picard"  : … On* appelle souvent méthode de Picard la méthode des approximations successives, dont les applications sont nombreuses : aux équations aux dérivées partielles (dans le Journal de Liouville de 1890) ; aux équations différentielles (dans une note du 18 mars 1891 au Bulletin de la S.M.F.) ; aux équations intégrales (cf. équations… Lire la suite