2. Qu'est-ce que la méthode ?
L'idée ou le but d'une méthode est de permettre de dériver des résultats de même forme à partir de propriétés communes. Dans l'acception la plus stricte, une méthode est un algorithme défini préalablement aux questions d'une classe donnée, et qui, à toute question de la classe, fournit, au bout d'un nombre fini d'étapes, une solution soit par une réponse affirmative ou négative, soit par le calcul d'une valeur numérique. Quand Descartes et Leibniz parlent de méthode pour un domaine de la connaissance, ils envisagent la possibilité de construire un calcul, puis de réduire le domaine de connaissance considéré à un modèle des opérations de ce calcul. Descartes traite le cas de la géométrie et de l'algèbre. Moyennant le dictionnaire des coordonnées, on traduit un problème géométrique en un problème d'algèbre ; on bénéficie alors de la sûreté mécanique des opérations algébriques. La méthode de Descartes, au sens le plus étroit, consiste dans l'invention d'un moyen de passage automatique de la géométrie à l'algèbre ou au calcul. La méthode de Hamilton procède selon le même schéma, qui aboutit à la création d'une nouvelle structure de nombres (les quaternions).
Un autre exemple de réduction est celui d'un problème logique à un problème d'algèbre (calcul booléen). Chacune des prémisses d'un syllogisme étant représentée par une équation, la conclusion correcte, si le syllogisme en comporte une, s'obtient en éliminant une inconnue entre deux équations.
Les méthodes algorithmiques apparaissent avec le maximum de pureté en logique et dans certaines théories d'algèbre ou d'arithmétique élémentaire. L'idéal de la méthode est le programme d'ordinateur ou la suite d'instructions codées, qui indique quelle opération effectuer en chaque circonstance susceptible de se présenter. De Descartes jusqu'au xxe siècle, on a rêvé d'une « méthode universelle », et le nom de Leibniz y est demeuré attaché (lingua caracterica universalis). Les logisticiens ont répandu la croyance que la logique symbolique issue de Frege fournirait une méthode permettant de résoudre tous les problèmes des mathématiques. Dans les années 1930 apparurent de divers côtés des démonstrations d'insolubilité par algorithme pour diverses classes de problèmes. Ces théorèmes, dits de limitation ou d'indécidabilité, ont réduit sensiblement la portée de ce qu'on peut espérer des méthodes mécaniques.
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