5. Caractère outil/objet d'un concept
Il convient de distinguer le caractère outil et le caractère objet d'un concept mathématique. Celui-ci prend son sens par son caractère outil. En liaison avec cela, un autre aspect importe : un concept n'intervient pas de manière isolée dans un problème. Par exemple, en relation avec la mesure de longueurs, aires ou autres grandeurs, interviennent des représentations de l'espace, des fonctions, des notions numériques... Un concept prend aussi son sens par les relations qu'il entretient avec les autres concepts impliqués dans le même problème. Un outil est adapté à un problème s'il est nécessaire ou efficace pour le résoudre. Il peut être adapté éventuellement à plusieurs problèmes. Par exemple, les nombres décimaux servent à approcher d'aussi près qu'on veut tout nombre réel. Ils serviront dans n'importe quel problème d'approximation numérique. Plusieurs outils peuvent être adaptés à un même problème. Ces outils peuvent appartenir à différents cadres : physique, géométrique, numérique, graphique ou autre ; chaque cadre a ses objets, ses relations et leurs formulations.
Pour l'élève, le caractère outil peut être implicite ou explicite. Nous parlons d'outil implicite quand l'élève fait fonctionner une notion ou une technique dans un problème sans être capable d'expliciter ce qu'il fait, sans connaître nécessairement les conditions d'emploi. Par exemple, quand un élève affirme : « lorsque le côté d'un carré grandit de 3 cm à 4 cm, l'aire passe de 9 cm2 à 16 cm2, il y a bien un moment où l'aire vaudra 12 cm2 », il utilise implicitement la continuité de la fonction a ↦ a2 sur le segment [3, 4] (la continuité est un outil implicite) et le principe des valeurs intermédiaires comme « théorème en acte ».
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