MATHÉMATIQUES (DIDACTIQUE DES)

4.  Des éléments pour une organisation de l'enseignement

Pour construire un processus d'apprentissage relatif à un certain concept mathématique, la description des situations organisant les échanges ne suffit pas. Il faut concevoir des situations-problèmes adéquates aux différentes situations et engageant le concept. Pour cela, plusieurs éléments interviennent. L'étude d'épistémologie génétique apporte des informations sur les conceptions du sujet, ses représentations, leur évolution dans le temps et selon les problèmes, les difficultés ou les obstacles rencontrés dans l'évolution. L'étude historique des différentes manifestations du concept et de leur statut cognitif offre des éléments de comparaison. Mais l'histoire a pu connaître des circonstances particulières qui n'ont aucune raison de se reproduire. L'étude mathématique comprend une analyse du concept du point de vue de sa nature mathématique, mais aussi du point de vue du rôle qu'il joue actuellement dans les domaines qui l'utilisent, que ce soit dans la vie courante ou dans les sciences.

L'activité principale en mathématiques (dans le cadre scolaire ou chez les chercheurs professionnels) consiste à résoudre des problèmes, à poser des questions. G. Vergnaud trouve dans la résolution des problèmes « la source et le critère du savoir ; [...] la source, parce que c'est dans ces situations que sont élaborées les notions et abstraites les propriétés pertinentes ; le critère, parce que c'est aussi dans ces situations que sont éprouvées les connaissances opératoires ». Pour sa part, le chercheur peut déclarer un problème résolu s'il peut justifier ses déclarations selon un système de validation propre aux mathématiques. Dans cette démarche, il crée des concepts qui jouent le rôle d'outil pour résoudre des problèmes. Lors du passage à la communauté scientifique, le concept est décontextualisé de façon à pouvoir resservir. Il devient alors un objet de savoir et prend place dans un édifice plus large, le savoir scientifique du moment. Ce processus de décontextualisation est poussé à l'extrême par Bourbaki.