9. Logique de la pertinence
En 1918, C. I. Lewis dénonçait les « paradoxes » de l'implication matérielle, définie par « A ⊃ B est vrai sauf si A est vrai et B est faux » : une proposition fausse implique n'importe quelle proposition (¬A ⊃ (A ⊃ B)) et une proposition vraie est impliquée par n'importe quelle proposition (A ⊃ (B ⊃ A)). Lewis estimait, au contraire, que des expressions comme « A entraîne B » ou « si A, alors B », dans leur usage naturel, mettent en jeu une relation nécessaire entre A et B (A ne peut être vraie sans que B le soit) et une connexion de signification entre les deux (A doit contenir une information pertinente pour B). Aussi proposait-il de remplacer ⊃ par un opérateur d'implication stricte ⥽ : A ⥽ B équivaut à □(A ⊃ B) (« il est nécessaire que A implique B »). Mais l'implication stricte donne lieu à des paradoxes du même ordre : en logique modale, on démontre □A ⊃ (B ⥽ A) et □¬A ⊃ (A ⥽ B). On s'accordait donc à reconnaître l'impossibilité de caractériser de manière formellement satisfaisante l'idée naturelle d'« entraînement » (entailment).
Le problème a pris un tour nouveau dans les années 1950 avec les travaux de A. Church et, surtout, d'un ancien collaborateur de Hilbert, W. Ackermann. Suivant une suggestion de Lewis, l'entraînement est la relation converse de la déductibilité (A entraîne B lorsque B se déduit de A). De fait, dans la logique classique des propositions, le théorème de la déduction énonce que si A1, A2, ..., An ⊢ B, alors A1, A2, ..., An−1 ⊢ An ⊃ B (⊢ se lit « se déduit de »). Les « paradoxes » de l'implication reflètent donc les propriétés de la déduction usuelle, et en particulier la monotonie : si X ⊢ Y, alors X, Z ⊢ Y (on peut ajouter aux hypothèses d'une déduction n'importe quelle proposition « postiche »). De A ⊢ A, on peut tirer A, B ⊢ A et donc A ⊢ B ⊃ A et ⊢ A ⊃ (B ⊃ A) par le théorème de la déduction. La mise au point d'une logique de l'implication pertinente suppose donc ou bien une modification de la notion de déduction, dans laquelle seules les propositions « pertinentes », non « postiches » pourraient figurer comme hypothèses, ou bien une att […]
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