7. Logique modale
D'une proposition, on peut chercher à savoir si elle est vraie ou fausse. Mais on peut en outre vouloir déterminer sa manière d'être vraie, si elle l'est. Est-elle vraie en vertu de sa forme, comme c'est le cas avec « P implique P » (quel que soit l'énoncé que l'on met à la place de X dans la forme propositionnelle « X implique X », la proposition résultante est vraie). Ou l'est-elle en vertu d'un fait, comme c'est le cas avec « il pleut sur Cadiz le 26 janvier 1987 » ? Cette opposition entre vérité formelle et vérité factuelle est un moyen parmi d'autres de discriminer, au sein des propositions vraies, entre celles qui peuvent être fausses et celles qui ne le peuvent pas : on peut concevoir un monde dans lequel il ne pleuvait pas là-bas ce jour-là, mais non un monde où P est le cas sans que P soit le cas. Une proposition comme « P → P » sera dite nécessairement vraie ou, plus brièvement, nécessaire. De la même manière une proposition qui ne peut pas être vraie sera dite impossible, une proposition ni nécessaire ni impossible sera appelée contingente (certaines propositions contingentes seront vraies, d'autres fausses), et une proposition non impossible sera dite possible. Nécessité, impossibilité, contingence et possibilité sont autant de modalités (de la vérité) des propositions. Ces quatre modalités s'articulent donc suivant le schéma ci-dessous.
On notera □P et ◊P l'attribution à la proposition P des modalités respectives de la nécessité et de la possibilité. Bien entendu, □P et ◊P sont à leur tour des propositions (par exemple □P se lira « il est nécessaire que P » ou « nécessairement P »). Les modalités de contingence et d'impossibilité étant visiblement définissables en termes des autres modalités (« il est impossible que P » équivaut à « il est nécessaire que non P » et « il est contingent que P » équivaut à « il est possible que P et il est possible que non P »), aucun symbole spécial ne sera introduit pour les désigner. Par ailleurs, les modalités ◊ et □ sont elles-mêmes interdéfinissables (◊P ⇔ ¬□ ¬P et □P ⇔ ¬◊¬P), de sorte que l'on peut toujours se ramener à une seule modalité (en g […]
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