LOGIQUE MATHÉMATIQUE

Thématique

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Autres références

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ACKERMANN WILHELM (1896-1962)

Écrit par :  Bernard PIRE

… *Mathématicien allemand, spécialiste de la logique. Né le 29 mars 1896 à Schönebeck, près d'Altena en Westphalie (alors en Prusse, aujourd'hui en Allemagne), Wilhelm Ackermann fait ses études supérieures à l'université de Göttingen. Dans sa thèse, accomplie sous la direction de David Hilbert (1862-1943), il démontre en 1924 la cohérence de l'… Lire la suite

ANALYSE NON STANDARD

Écrit par :  Jean-Michel SALANSKIS

Au* milieu du xx^e siècle, le mathématicien et logicien Abraham Robinson (1918-1974) est parvenu à refonder la notion d'infinitésimale – de grandeur infiniment petite – dont Georg Cantor (1845-1918) et Richard Dedekind (1831-1916) étaient supposés avoir délivré la communauté… Lire la suite

AXIOMATIQUE

Écrit par :  Georges GLAESER

…  axiomes d'une théorie figurent des règles de déduction (appelées aussi axiomes de la *logique) qui sont communes à toutes les sciences déductives. À partir de ces données, on s'astreint à démontrer les autres résultats, ou théorèmes, de la théorie considérée, en proscrivant toute affirmation non issue des axiomes ; en… Lire la suite

BOOLE ALGÈBRE & ANNEAU DE

Écrit par :  Gabriel SABBAGH

… *La notion d'algèbre de Boole, introduite par G. Boole (1847) et par A. De Morgan afin d'algébriser les opérations propositionnelles de la logique, joue un rôle très utile dans plusieurs branches des mathématiques (algèbre, théorie des ensembles ordonnés, calcul des probabilités) et en logique mathématique (logique algébrique, modèles booléens). On… Lire la suite

BOOLE GEORGE (1815-1864)

Écrit par :  Universalis

… *Mathématicien et logicien anglais, Boole est le créateur de la logique symbolique. Né à Lincoln et fils d'un petit commerçant, il reçut ses premières leçons de mathématiques de son père, qui lui apprit aussi à fabriquer des instruments d'optique. En dehors des conseils de son père et de quelques années passées dans les écoles locales, Boole est un… Lire la suite

BOURBAKI NICOLAS (XX^e s.)

Écrit par :  André MARTINEAU

Dans le chapitre "Construction logique et ensembliste"  : …  Nicolas Bourbaki prend comme point de départ pour sa construction la *logique formelle et la théorie des ensembles dont le langage est familier à tout jeune lycéen. Il introduit la notion de structure qui est le cœur de sa rigoureuse construction axiomatique. Les structures sont classées par degré de complexité. Et, de même que la chimie… Lire la suite

BROUWER LUITZEN (1881-1966)

Écrit par :  Gabriel SABBAGH

… *Logicien et mathématicien hollandais, né à Amsterdam, Brouwer est l'un des fondateurs de la topologie algébrique. Il en a démontré l'un des plus beaux théorèmes, le théorème du point fixe, dont les applications et généralisations, de la théorie des jeux aux équations différentielles, se sont révélées fondamentales. Après 1907, à partir d'une… Lire la suite

CHURCH ALONZO (1903-1995)

Écrit par :  Françoise ARMENGAUD

… *Mathématicien et logicien, philosophe et historien de la logique, Alonzo Church est né le 14 juin 1903 à Washington et mort le 11 août 1995 à Hudson (Ohio). Professeur de mathématiques à l'université de Princeton, directeur du Journal of Symbolic Logic, il est selon Kneale « le plus fidèle des disciples de Frege ». Réputé « platonisant »,… Lire la suite

COGNITIVES SCIENCES

Écrit par :  Daniel ANDLER

Dans le chapitre "Le cognitivisme"  : …  à l'univers représenté. Telles sont les réponses aux questions 1 et 2. C'est encore la *logique des années 1930 (avec les travaux d'Alan Turing et d'Alonzo Church) qui rend possible une réponse déterminée à la question 3. En effet, nous savons depuis cette époque que si par calcul on entend une suite finie d'opérations sur des symboles ou éléments… Lire la suite

COHEN PAUL JOSEPH (1934-2007)

Écrit par :  Gabriel SABBAGH

… *Mathématicien et logicien américain, Paul Joseph Cohen est né le 2 avril 1934 à Long Branch (New Jersey) et mort le 23 mars 2007 à Stanford (Californie). En 1963, Cohen a découvert une nouvelle construction de modèles, appelée forcing, qui joue désormais un rôle fondamental dans la théorie des ensembles et dans la théorie des modèles ; et il a… Lire la suite

CONSTRUCTIVISME, mathématique

Écrit par :  Jacques-Paul DUBUCS

Dans le chapitre "Différentes variétés de constructivisme"  : …  réservent leurs critiques à certaines techniques usuelles de définition des objets mathématiques,* ou qu'elles adressent aussi des objections à la logique classique elle-même. La situation suivante montre, en effet, qu'une telle remise en question supplémentaire peut être requise d'un point de vue constructiviste. Définissons, par… Lire la suite

CONTINU & DISCRET

Écrit par :  Jean-Michel SALANSKIS

Dans le chapitre "Signification logico-mathématique de l'opposition"  : …  *Il faut distinguer un emploi adjectival du mot continu, principalement dans la locution application continue, de son emploi substantif, lorsqu'on parle du continu. Dans le premier emploi, continu désigne un caractère de régularité : les applications continues ne prennent jamais une valeur en un point qui contraste topologiquement… Lire la suite

CONTINU HYPOTHÈSE DU

Écrit par :  Patrick DEHORNOY

Dans le chapitre "La Ω-logique de Woodin"  : …  1995, Woodin a proposé un tel candidat, noté ici MMW, comme « axiome de Martin maximal de Woodin ». *On ne sait pas encore si ZFC+MMW est une solution pour H2, mais la partie manquante s'exprime simplement dans le contexte de la Ω-logique, nouvelle logique introduite en 1999 par Woodin dont le but est, en quelque sorte, de voir… Lire la suite

DE MORGAN AUGUSTUS (1806-1871)

Écrit par :  Bernard PIRE

une interprétation géométrique des nombres complexes qui suggère l'idée des quaternions. *La contribution scientifique majeure de De Morgan concerne le domaine de la logique. Il parvient à étendre la puissance de la logique aristotélicienne en reformulant les assertions en termes mathématiques. Il invente pour cela des notations qui… Lire la suite

EMPIRISME

Écrit par :  Edmond ORTIGUES

Dans le chapitre "L'empirisme au XIX^e et au XX^e siècle"  : …  hypothétiques (plutôt que des nécessités métaphysiques comme dans la scientia médiévale). *Et c'est le développement de la logique mathématique qui a renouvelé l'analyse des rapports entre langage et réalité. La philosophie de Russell – semblable, disait Whitehead, à un dialogue platonicien, sinueux sans conclusion – a marqué un tournant… Lire la suite

ENSEMBLES (THÉORIE DES) - Théorie élémentaire

Écrit par :  André ROUMANET, Jean-Luc VERLEY

Dans le chapitre "Calcul booléen"  : …  George Boole (1815-1864) va travailler. Boole peut être considéré comme le véritable créateur de la *logique contemporaine. Son ambition est de formaliser la logique en s'inspirant des méthodes de l'analyse et de l'algèbre : « Que l'on donne des formes existantes de l'analyse une interprétation quantitative n'est que le résultat des circonstances… Lire la suite

FORMALISME

Écrit par :  Étienne BALIBAR, Pierre MACHEREY

Dans le chapitre "Logique et mathématique"  : …  *Cela ne signifie pas qu'il n'y ait aucun moyen de distinguer rigoureusement entre axiomes « logiques » et axiomes « mathématiques ». Cette distinction est une question d'interprétation du système formel, c'est-à-dire de construction d'un modèle, ensemble d'objets mathématiques qui peuvent être mis en correspondance avec les symboles et les formules… Lire la suite

FREGE GOTTLOB (1848-1925)

Écrit par :  Claude IMBERT

Professeur de mathématiques à l'université d'Iéna, Gottlob Frege est le fondateur de la *logique moderne ou logique mathématique, selon l'appellation due à Giuseppe Peano et universellement admise. Longtemps méconnus, ses travaux furent révélés au public savant par Bertrand Russell, qui consacra à l'examen de quelques idées… Lire la suite

GENTZEN GERHARD (1909-1945)

Écrit par :  Gabriel SABBAGH

… *Logicien allemand, né à Greifswald et mort à Prague lors de son emprisonnement par les Soviétiques. Gentzen a développé l'étude des systèmes de déduction naturelle et établi un théorème d'élimination des coupures. Gerhard Gentzen a également donné une démonstration de consistance de l'arithmétique du premier ordre fondée sur l'induction transfinie… Lire la suite

GÖDEL KURT (1906-1978)

Écrit par :  Daniel ANDLER

…  Boole, de Cantor et de Frege au cours de la seconde moitié du xix^e siècle, la *logique mathématique connaît ses premiers développements grâce à Hilbert et à Russel et Whitehead (premier quart du xx^e siècle). Mais c'est à Kurt Gödel plus qu'à tout autre qu'elle doit de prendre rang, en l'espace d'une décennie… Lire la suite

HERBRAND JACQUES (1908-1931)

Écrit par :  Gabriel SABBAGH

… *Logicien et mathématicien français né à Paris et mort à Saint-Christophe-en-Oisans dans un accident de montagne. La brève carrière de Jacques Herbrand est marquée par sa démonstration, essentiellement correcte, d'un théorème central du calcul des prédicats du premier ordre, qui a des rapports étroits avec le théorème de complétude et les travaux de… Lire la suite

IDÉALISME

Écrit par :  Jean LARGEAULT

Dans le chapitre "La logique et l'idéalisme"  : …  du concept – qu'il faudrait se placer pour décider de l'idéalisme ou du réalisme en logique. *La logique mathématique contemporaine, à la différence de la logique ancienne, ne comporte pas de théorie du concept. Elle est une théorie des techniques déductives et de leurs propriétés, considérées sous deux rapports, celui des significations (… Lire la suite

INFINI, mathématiques

Écrit par :  Jean Toussaint DESANTI

Dans le chapitre "La puissance d'un ensemble"  : …  que la validité du concept d'infini actuel va être liée à la possibilité d'établir sur un fondement *logique solide la théorie du champ où sont définies les « puissances ». Avec Cantor nous sommes encore loin du compte. La théorie des ensembles abstraits, qu'il propose à partir de 1883 et dont les éléments sont exposés dans deux mémoires publiés en… Lire la suite

INTUITIONNISME

Écrit par :  Jacques-Paul DUBUCS

Dans le chapitre "L'intuitionnisme de Brouwer"  : …  biais de leur écriture dans des systèmes formels de type approprié. Nulle surprise, dans ces conditions, si la *logique répondant aux principes intuitionnistes est en large désaccord avec la logique « classique », pour laquelle une proposition est vraie ou fausse de manière absolue et déterminée, indépendamment de nos moyens de reconnaître quel est… Lire la suite

KLEENE STEPHEN COLE (1909-1994)

Écrit par :  Pierre GOUJON

… *Mathématicien américain né à Hartford (Connecticut). Diplômé de l'Amherst College, Stephen C. Kleene entre, en 1930, à l'université de Princeton. Il est docteur de la même université en 1934. Dès cette époque, il partage son temps entre l'enseignement (université du Wisconsin) et la recherche. Il est successivement membre du Conseil national de la… Lire la suite

LES LOIS DE LA PENSÉE (G. Boole)

Écrit par :  Bernard PIRE

  *Le mathématicien britannique Georges Boole (1815-1864) est le fondateur de la logique symbolique moderne. Autodidacte sans aucun titre universitaire, il soutient que la logique doit être rattachée aux mathématiques et non à la philosophie. En 1854, il publie l'exposé abouti de ses idées dans un traité dont le titre… Lire la suite

LOGIQUE

Écrit par :  Robert BLANCHÉ, Jan SEBESTIK

Dans le chapitre "Leibniz"  : …  assujettie au langage naturel, avec ses irrégularités logiques, et à la forme orale de ce langage. *Le modèle dont il faut s'inspirer, c'est celui de l'algèbre, dont le langage est constitué entièrement de symboles visuels, et dont les opérations consistent à manier ces symboles selon certaines règles précises qui en garantissent la correction.… Lire la suite

TURING MACHINE DE

Écrit par :  Bernard PIRE

  *Dans l'article « On computable numbers, with an application to the Entscheidungsproblem », publié en 1936 dans les Proceedings of the Mathematical Society, Alan Mathison Turing (1912-1954) montre qu'il existe des nombres définissables qui ne sont pas calculables. Cela implique qu'il n'existe pas de solution au… Lire la suite

MALTSEV ANATOLI IVANOVITCH (1909-1967)

Écrit par :  Gabriel SABBAGH

… *Mathématicien soviétique, célèbre pour ses travaux en logique et en algèbre. Les premiers écrits de Maltsev contiennent les idées essentielles d'une bonne partie de son œuvre. Dans son premier et plus célèbre article, Untersuchungen aus dem Gebiete der Mathematischen Logik, 1936, Maltsev démontre la version la plus générale (aucune… Lire la suite

MARTIN ROGER (1920-1979)

Écrit par :  Jan SEBESTIK

… sa formation par une licence de mathématiques. C'est à cette époque que se fixe son intérêt pour la *logique mathématique. De 1950 à 1964, date de la soutenance de sa thèse préparée sous la direction de René Poirier, Roger Martin est bibliothécaire en chef de l'École normale supérieure. En 1964, il est nommé professeur de logique à la Sorbonne ;… Lire la suite

MATHÉMATIQUE ÉPISTÉMOLOGIE DE LA

Écrit par :  Jean-Michel SALANSKIS

Dans le chapitre "Logique et ontologie"  : …  *Pour toute une école qui prend son inspiration dans l'invention de la logique contemporaine par Gottlob Frege (1848-1925) et Bertrand Russell (1872-1970), et l'entreprise qui fut la leur d'une nouvelle philosophie exacte suivant les rails de cette logique, le problème de l'épistémologie de la mathématique est jusqu'à nouvel ordre circonscrit par le… Lire la suite

MATHÉMATIQUES ENSEIGNEMENT DES

Écrit par :  André REVUZ

*Les problèmes que pose tout enseignement sont extrêmement complexes ; ils sont liés à l'état de la société, à sa structure, à son développement économique et technique et à l'idée qu'elle se fait de son avenir. Les aborder dans leur totalité et leur généralité n'est pas possible ici ; on se limitera aux aspects… Lire la suite

MATHÉMATIQUES FONDEMENTS DES

Écrit par :  Jean Toussaint DESANTI

Dans le chapitre "L'œuvre de Bolzano"  : …  , concernaient le statut des théories mathématiques. Au cœur de ces problèmes se posait la question de la relation des mathématiques à une *logique qu'il importait de produire. Avec Bolzano, la question des fondements commence à émerger de sa préhistoire. Elle en émerge complètement, au début de notre siècle, après Gottlob Frege et Georg Cantor… Lire la suite

MODÈLE

Écrit par :  Raymond BOUDON, Hubert DAMISCH, Jean GOGUEL, Sylvanie GUINAND, Bernard JAULIN, Noël MOULOUD, Jean-François RICHARD, Bernard VICTORRI

 Art Épistémologie  *Le langage de la philosophie aiderait peu à éclairer l'origine de la notion de modèle, qui a reçu un emploi très large dans la méthodologie des sciences. Cette origine est technologique : le modèle est d'abord la « maquette », l'objet réduit et… Lire la suite

MODÈLES THÉORIE DES

Écrit par :  Daniel ANDLER, Daniel LASCAR, Gabriel SABBAGH

…  généralement par modèle une théorie conçue pour expliquer un ensemble de phénomènes, alors qu'en *logique mathématique on parle des modèles d'une théorie. Dans ce qui suit, il s'agira exclusivement des modèles et de la théorie des modèles de la logique mathématique. Toute étude des structures mathématiques dans laquelle les questions de langage… Lire la suite

MODÉLISATION, mathématique

Écrit par :  Jean-Paul DELAHAYE

Dans le chapitre "Théorie des modèles"  : …  *La notion de modèle en logique s'attache à établir le lien précis entre les formules – qui sont des objets finis purement syntaxiques – et les structures elles-mêmes (construites de manière ensembliste), qui pourront posséder ou non les propriétés exprimées par les formules. Choisissons par exemple le langage composé des symboles =, + et s… Lire la suite

NOTATION MATHÉMATIQUE

Écrit par :  Hans FREUDENTHAL

Dans le chapitre "La logique"  : …  *Boole, Peirce, E. Schröder et Peano employaient souvent les mêmes symboles au sens logique et au sens ensembliste. Pour la conjonction, Russell et Whitehead adoptaient l'écriture multiplicative de Boole et d'autres, tandis que pour la disjonction ils introduisirent le symbole ∨. Hilbert et son école choisirent le signe & pour la… Lire la suite

PHILOSOPHIE ANALYTIQUE

Écrit par :  Francis JACQUES, Denis ZASLAWSKY

Dans le chapitre "Logique mathématique et philosophie des sciences"  : …  américains – qui l'ont prolongée après la guerre, nous avons reçu aujourd'hui deux héritages. *Le premier est celui de la logique mathématique, issue d'abord des œuvres de Frege, Russell et Wittgenstein, et rapidement devenue ensuite une branche spécialisée de la science mathématique elle-même (l'exemple de Herbrand, mathématicien pur, était… Lire la suite

POST EMIL LEON (1897-1954)

Écrit par :  Bernard JAULIN

… *Mathématicien américain né à Augustów (Pologne) et mort à New York. Arrivé aux États-Unis en 1904, Emil Post obtint son Ph.D. à l'université Columbia de New York en 1920. Il était membre de l'American Mathematical Society depuis 1918 et de l'Association for Symbolic Logic dès sa fondation en 1935. Sa thèse de doctorat, publiée en 1921, porte sur le… Lire la suite

PRÉDICATIVISME, mathématique

Écrit par :  Philippe de ROUILHAN

… le mépris de la logique formelle, tout était dit, il n'y avait plus qu'à faire preuve de vigilance. *Pour Russell, au contraire, la logique, et avec elle les mathématiques, qui n'en étaient que le prolongement, devaient être reconstruites en faisant systématiquement droit au nouveau principe plus précisément formulé. Les règles gouvernant l'usage… Lire la suite

PRÉDICATS CALCUL DES

Écrit par :  Françoise ARMENGAUD

… *Dans la logique aristotélicienne, la distinction du sujet et du prédicat est à la fois d'ordre linguistique (grammatical), d'ordre ontologique (la substance et ce qu'on peut dire d'elle) et d'ordre logique. Le prédicat est affirmé d'un sujet ; il est dit lui appartenir : « La blancheur appartient à Callias », ou « Callias est blanc ». La logique… Lire la suite

RÉALISME, mathématique

Écrit par :  Hourya BENIS-SINACEUR

Dans le chapitre "La réalité idéelle des concepts"  : …  , qui fonde l'identité transindividuelle et transculturelle des concepts mathématiques. *L'origine de cette distinction, explicitement introduite par Frege, vient de la théorie logique des significations objectives de Bolzano. Les significations objectives, ou « propositions en soi », sont le support du vrai en soi et du faux en… Lire la suite

RELATION

Écrit par :  Jean LADRIÈRE

Dans le chapitre "La méthode axiomatique"  : …  qu'il est exprimé par ces propositions et toutes celles qui en dérivent). C'est dans le cadre de la *logique mathématique que cette méthode a été appliquée à la notion de relation. Auguste De Morgan (1806-1871) est considéré comme le véritable fondateur de la théorie logique des relations. On en trouve cependant déjà quelques anticipations chez les… Lire la suite

ROBINSON ABRAHAM (1918-1974)

Écrit par :  Daniel ANDLER

… *Mathématicien et logicien américain d'origine allemande. Né à Waldenburg, en Allemagne (l'actuelle Walbrzych polonaise), dans une famille intellectuelle sioniste, Abraham Robinson émigre en Palestine avec sa famille en 1933. Tout en gagnant sa vie et en suivant l'entraînement militaire de la Haganah, il étudie les mathématiques à l'université… Lire la suite

ROBINSON JULIA (1919-1985)

Écrit par :  Gabriel SABBAGH

…  des corps réel-clos établie par Alfred Tarski ; il s'agissait également là des premiers résultats *logiques nécessitant des connaissances non rudimentaires en théorie des nombres. Elle revint au sujet en 1959 (« The Undecidability of algebraic rings and fields », Proceedings of the American Mathematical Society) en montrant que la théorie… Lire la suite

RUSSELL BERTRAND lord (1872-1970)

Écrit par :  Philippe DEVAUX

Dans le chapitre "La logique de Russell"  : …  *Le projet de Russell commence par un effort de logicisation de l'arithmétique, qui sera suivi par l'élaboration du calcul des propositions, du calcul des classes et du calcul des relations. La définition du nombre est obtenue au moyen du concept de classes semblables. Une classe est constituée par le ou les membres qui lui appartiennent (… Lire la suite

SCIENCES - Sciences et discours rationnel

Écrit par :  Jean LADRIÈRE

Dans le chapitre "Les divers types de science et leurs modes de validation : le type formel pur"  : …  (formée des axiomes) et celle d'un certain nombre de règles de déduction. Les* théories logiques comme les théories mathématiques peuvent être érigées en systèmes formels. On peut donc présenter les sciences mathématiques et logiques comme relevant d'une solide discipline fondamentale : l'étude des systèmes formels. L'idée de… Lire la suite

SCIENCES - Science et philosophie

Écrit par :  Alain BOUTOT

Dans le chapitre "Le cercle de Vienne"  : …  de Vienne a transformé l'empirisme classique en un empirisme logique, en intégrant l'apport de la *logique mathématique nouvellement créée par Frege. Il s'est formé, au début des années 1920, autour du physicien Moritz Schlick, titulaire de la chaire de « philosophie des sciences inductives » à l'université de Vienne. Prenant appui sur les thèses… Lire la suite

SKOLEM ALBERT THORALF (1887-1963)

Écrit par :  Gabriel SABBAGH

… *Logicien et mathématicien norvégien né à Sandsvaer et mort à Oslo. Ses travaux en algèbre (théorème de Skolem-Noether pour les algèbres associatives) et en théorie des nombres (introduction des méthodes p-adiques dans la théorie des équations diophantiennes), qui lui vaudraient, en tout état de cause, un rang honorable parmi les… Lire la suite

TARSKI ALFRED (1902-1983)

Écrit par :  Jan SEBESTIK

Dans le chapitre "La métamathématique"  : …  école polonaise de logique. En 1939, il émigre et enseigne à l'université de Californie à Berkeley. *Il s'est occupé de la théorie des ensembles et de la logique mathématique, tout particulièrement de la métamathématique et de la sémantique (théorie des modèles). Parmi ses contributions les plus importantes à la mathématique pure, il faut citer sa… Lire la suite

TURING ALAN MATHISON (1912-1954)

Écrit par :  B. Jack COPELAND

Mathématicien *et logicien britannique, Alan Turing apporta une contribution majeure aux mathématiques, au décryptage, à la logique, à la philosophie, à la biologie et à de nouveaux domaines du savoir qui allaient par la suite être baptisés informatique, sciences cognitives, intelligence artificielle et vie… Lire la suite

WHITEHEAD ALFRED NORTH (1861-1947)

Écrit par :  Jean-Luc VERLEY, Jean WAHL

Exploitant certaines conceptions de *logique mathématique, Alfred North Whitehead collabora avec Bertrand Russell aux Principia mathematica, qui sont un des points de départ les plus importants des considérations logiques en Angleterre et en Amérique. On peut exposer sa philosophie en fonction de… Lire la suite

ZERMELO ERNST (1871-1953)

Écrit par :  Gabriel SABBAGH

… *Mathématicien et logicien allemand, né à Berlin et mort à Fribourg-en-Brisgau, fondateur de la théorie axiomatique des ensembles. En 1904, Ernst Zermelo explicite l'axiome du choix et en déduit que tout ensemble peut être bien ordonné, résultat déjà conjecturé par Moritz Cantor et permettant de légitimer le raisonnement par induction transfinie. En… Lire la suite

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