9. Modules
Soit A un anneau unitaire. On appelle A-module à gauche un ensemble E muni de deux lois de composition satisfaisant aux mêmes axiomes que les espaces vectoriels. On définit de même les A-modules à droite : cette fois
Par exemple, l'application (n, x) ↦ nx définit sur tout groupe abélien une structure de Z-module.
Les résultats des chapitres 1 et 2 s'étendent sans changement dans ce cadre plus général, à ceci près que, lorsque l'anneau A n'est pas commutatif, les homothéties ne sont pas des endomorphismes, si bien qu'il n'est plus possible de munir le groupe additif L(E, F) d'une structure de A-module et l'anneau L(E) d'une structure de A-algèbre. Enfin, le dual d'un A-module à gauche doit être considéré comme un A-module à droite.
• Existence de bases
Une différence essentielle avec les espaces vectoriels est la suivante : il peut arriver qu'une partie réduite à un élément non nul ne soit pas libre. C'est le cas pour les éléments de Z/nZ, considéré comme Z-module.
De plus, alors que, dans tout espace vectoriel, il existe des bases (cf. théorème 8), il n'en est pas de même dans tout module, même lorsqu'il existe une partie génératrice réduite à un seul élément ; c'est le cas pour Z/nZ. Un module admettant une base est dit libre.
[…]… pour nos abonnés, l'article se prolonge sur 19 pages…
