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LINÉAIRE ALGÈBRE

8.  Produits tensoriels

  Produit tensoriel d'espaces vectoriels

La notion de produit tensoriel sert à remplacer l'étude des applications multinéaires par celle des applications linéaires. Plus précisément, on obtient le résultat suivant.

Théorème 17. Soit E1, E2, ..., Ep des espaces vectoriels sur K. Il existe un couple (G, T) constitué d'un espace vectoriel G sur K et d'une application multilinéaire T de E1 × E× ... × Ep dans G possédant la propriété universelle suivante : Pour tout couple (F, S) constitué d'un espace vectoriel F sur K et d'une application multilinéaire S de E1 × E2 × ... × Ep dans F, il existe une application linéaire S∼ et une seule de G dans F telle que S = S∼ ∘ T. Un tel couple (G,T) est unique à isomorphisme près. L'espace vectoriel G s'appelle produit tensoriel des espaces vectoriels E1, E2, ..., Ep, et se note E1 ⊗ E⊗ ... ⊗ Ep. L'application multilinéaire T se note :

L'application S ↦ S∼ est un isomorphisme de l'espace vectoriel M(E1 × E× ... × Ep, F) des applications multilinéaires de E× E2 × ... × Ep dans F sur l'espace vectoriel L(E⊗ E⊗ ... ⊗ Ep, F). Les éléments de E⊗ E⊗ ... ⊗ Ep de la forme x⊗ x⊗ ... ⊗ xp sont dits décomposables ; ils constituent une partie génératrice de E⊗ E⊗ ... ⊗ Ep. Si, pour tout élément j de [1, p], Ej est de dimension finie nj […]

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Pour citer cet article

Lucien CHAMBADAL, Jean-Louis OVAERT, « LINÉAIRE ALGÈBRE  », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le  . URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/lineaire-algebre/

Classification thématique de cet article :

 

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« LINÉAIRE ALGÈBRE » est également traité dans :

AFFINE APPLICATION
ALGÈBRE
Dans le chapitre "L'algèbre linéaire et les origines de l'algèbre non commutative"
CALCUL INFINITÉSIMAL - Calcul à plusieurs variables
Dans le chapitre "Formulation intrinsèque de la théorie"
CAYLEY ARTHUR (1821-1895)
Dans le chapitre "Le calcul matriciel"
GRASSMANN HERMANN GÜNTHER (1809-1877)
HENSEL KURT (1861-1941)
NORMÉS ESPACES VECTORIELS
Dans le chapitre "Norme d'une application linéaire"
PROJECTIVES APPLICATIONS

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