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LINÉAIRE ALGÈBRE

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6.  Applications multilinéaires

•   Définitions

Soit p un entier naturel non nul, soit E1, E2, ..., Ep et F des espaces vectoriels sur K. On dit qu'une application S de E1 × E2 × ... × Ep dans F est multilinéaire, si, pour tout élément j de [1, p], toute application partielle Sj de Ej dans F est linéaire. Lorsque F = K, on dit que S est une forme multilinéaire.

Soit E un espace vectoriel sur K. Les applications multilinéaires de Ep dans F s'appellent applications p-linéaires sur E à valeurs dans F, et les formes multilinéaires, formes p-linéaires.

Voici quelques cas particuliers :

Soit S une application p-linéaire sur E à valeurs dans F. On dit que S est alternée si, pour toute suite (x1, x2, ..., xp) de vecteurs de E contenant deux vecteurs égaux :

On dit que S est symétrique si, pour toute permutation σ de [1, p] et pour toute suite (x1, x2, ..., xp) de vecteurs de E :

On dit que S est antisymétrique si, dans les mêmes conditions :

où ε(σ) désigne la signature de la permutation σ.

Toute application p-linéaire alternée est antisymétrique ; la réciproque devient vraie si la caractéristique du corps K est différente de 2.

Pour qu'une application p-linéaire S soit alternée, i […]

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