3. Existence de bases
Théorème 8. Soit E un espace vectoriel sur K, soit L une partie libre de E, et S une partie génératrice de E contenant L. Il existe alors une partie basique B de E telle que L ⊂ B ⊂ S.
Nous allons démontrer ce théorème lorsque la partie S est finie.
Introduisons l'ensemble E ordonné par inclusion des parties libres T de E telles que L ⊂ T ⊂ S. L'ensemble E est non vide, puisque L appartient à E. La partie S étant finie, l'ensemble card(T) des entiers naturels, où T parcourt E, admet un plus grand élément p. Soit B un élément de E ayant p éléments. Montrons que B convient. Puisque B appartient à E, la partie B est libre, et L ⊂ B ⊂ S. Il reste donc à prouver que B est génératrice. Supposons en effet par l'absurde que le sous-espace vectoriel E′ engendré par B ne soit pas égal à E. Puisque S est génératrice, il existe un élément x de S n'appartenant pas à E′, ce qui implique que B′ = B ∪ {x} est encore libre. Ainsi, B′ est un élément de E ayant p + 1 éléments, ce qui contredit la définition de p.
Lorsque S est quelconque, la démonstration est analogue, le principe de récurrence étant remplacé par le théorème de Zorn.
Corollaire 1. Pour toute partie libre L de E, il existe une partie basique B de E contenant L ; pour toute partie génératrice S de E, il existe une partie basique B de E contenue dans S. En particulier, pour tout espace vectoriel E sur K, l'ensemble des bases de E est non vide.
Ce corollaire s'obtient en spécialisant le théorème aux trois cas suivants : S = E, L = ∅, S = E et L = ∅.
Corollaire 2 (théorème de la base incomplète). Pour toute partie libre L de E et pour toute partie génératrice S de E, il existe une partie S′ de S telle que L ∩ S′ soit vide et que B = L ∪ S′ soit une partie basique de E.
Voici l'une des principales conséquences du théorème précédent :
Théorème 9. Tout sous-espace vectoriel E′ d'un espace vectoriel E admet un sous-espace vector […]
… pour nos abonnés, l'article se prolonge sur 19 pages…
