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LINÉAIRE ALGÈBRE

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2.  Sommes directes, bases

•  Sommes directes

Soit (Ei)i∈I une famille d'espaces vectoriels sur K. Dans l'espace vectoriel :

l'ensemble des éléments (xi)i∈I à support fini est un sous-espace vectoriel de cet espace vectoriel, appelé somme directe de la famille (Ei)i∈I, et noté :
il coïncide avec l'espace vectoriel produit lorsque l'ensemble I est fini.

Soit, en particulier, E un espace vectoriel sur K, soit (Ei)i∈I une famille de sous-espaces vectoriels de E, et U l'application linéaire de la somme directe de cette famille dans E qui à tout élément (xi)i∈I associe l'élément :

Alors l'image de U est la somme :

des sous-espaces vectoriels Ei, et le noyau de U est l'ensemble des éléments (xi)i∈I tels que :

Ainsi, pour que U soit surjective, il faut et il suffit que :

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