NEUF CHAPITRES SUR LES PROCÉDURES MATHÉMATIQUES LES

2.  Champs rectangulaires (chapitre 1)

Le chapitre 1 (38 problèmes) est intitulé « Champs rectangulaires » par référence à une série de problèmes traitant d'aires de rectangles. En fait, le chapitre comporte trois thèmes. L'un a trait au calcul fractionnaire. Il intègre des simplifications au moyen du plus grand commun diviseur, des additions et soustractions sans plus petit commun multiple, des produits et quotients, des calculs de moyenne et des comparaisons. Un autre traite du calcul d'aires de triangles, de rectangles, de trapèzes droits, de secteurs et de segments circulaires, d'anneaux et de calottes sphériques. Pour l'essentiel, les procédés recourent à des découpages et déplacements donnant des aires équivalentes pour les aires droites et, pour les aires courbes, des approximations grâce à des polygones eux-mêmes sujets à déplacements. Il y a là, à cause du caractère itératif indiqué dans le commentaire de Liu Hui, l'approche non aboutie de l'idée de limite. Enfin le texte introduit, dans ses commentaires, la notion de lü qui va parcourir l'ensemble de l'ouvrage. Au départ les lü, entités entières ou non, expriment, au-delà des quantités absolues que représentent par exemple les entiers, la notion de tableaux de proportionnalité. L'idée centrale est que des nombres sont souvent donnés en relation avec d'autres. Ainsi pourrait-on dire que le lü d'une circonférence est 22 (ou 157) et que celui du diamètre correspondant est 7 (ou 50) pour indiquer que c'est le rapport des deux qui est en jeu. Ou encore que le lü d'une quantité est 3 ou 6 ou 9... quand celui d'une autre est 4 ou 8 ou 12...