2. La « multiplication complexe »
Une courbe elliptique X peut être définie, en tant que groupe de Lie complexe, comme un quotient C/Γ, où Γ est un réseau dans C, c'est-à-dire l'ensemble des combinaisons à coefficients entiers (positifs ou négatifs) de deux nombres complexes ω1, ω2 de rapport τ non réel ; à isomorphie près, on peut toujours supposer que ω1 = 1, ω2 = τ, avec Im τ > 0. La théorie des fonctions elliptiques (cf. fonctions analytiques – Fonctions elliptiques et modulaire) introduit les nombres suivants :
Un endomorphisme de X s'identifie à une homothétie t ↦ zt de C qui laisse invariant le réseau Γ. L'anneau A(X) de ces endomorphismes contient toujours Z ; on dit que la courbe X admet des multiplications complexes lorsqu'il existe dans A(X) des nombres z non réels, donc vérifiant les relations :
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