5. Calcul des variations
Le problème fondamental du calcul des variations consiste à chercher, parmi les fonctions y = f (x) continûment dérivables sur un intervalle donné [a, b] et pour lesquelles les fonctions f (a) et f (b) sont des valeurs données, celles qui rendent maximum ou minimum l'intégrale :
Pour que f réponde à la question, une condition nécessaire est l'équation différentielle due à L. Euler et à L. de Lagrange :
Mais cette condition n'est pas à elle seule suffisante, pas plus que f ′(a) = 0 ne suffit pour que f soit maximum ou minimum au point a ; il faut y ajouter une inégalité jouant le même rôle que le signe de f ″(a). Cette recherche délicate, commencée par A. M. Legendre, fut poursuivie par Weierstrass, puis par D. Hilbert en 1900.
Il s'intéressa aussi à divers problèmes de calcul des variations, en particulier au problème des surfaces minima : Trouver la surface d'aire minimum limitée par une courbe fermée donnée dans l'espace. En 1866, il consacra plusieurs articles à la représentation paramétrique suivante des surfaces minima :
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