4. Fonctions de variable réelle
Au temps de Weierstrass, l'étude approfondie des fonctions d'une variable réelle commençait à peine et il y apporta plusieurs contributions très importantes. Riemann fut le premier à dire, vers 1860, qu'une fonction continue peut n'avoir de dérivée nulle part, et pas seulement en des points isolés comme on semblait le croire ; ses auditeurs recueillirent, sans démonstration, l'exemple contraire :
Dans le mémoire de 1880 sur le prolongement analytique, on retrouve cet exemple dans la version :
C'est en 1885 que Weierstrass publia son célèbre théorème d'approximation polynomiale : Sur un intervalle borné fermé de la droite, toute fonction continue f est limite uniforme d'une suite convenablement choisie de polynômes. Sa démonstration, fort élégante, repose sur une première approximation de f (supposée continue bornée sur toute la droite) par des fonctions entières obtenues, à des facteurs constants près, par convolution de f avec :
Bien d'autres preuves furent données ensuite, et l'une d'elles conduisit l'Américain M. H. Stone, en 1948, à une généralisation remarquable : Étant donné un espace compact E et une famille H de fonctions réelles continues sur E, pour que toute fonction continue sur E soit limite uniforme d'une suite de polynôm […]
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