3. Fonctions de plusieurs variables complexes
L'étude des fonctions de plusieurs variables complexes, très en honneur au xxe siècle, commence par un théorème célèbre entre tous : le Vorbereitungssatz, ainsi nommé par son inventeur Weierstrass en 1879. D'après ce théorème, toute série entière à n + 1 variables x, x1, ..., xn, qui, pour x1 = ... = xn = 0, est le produit de xp, pour p ≥ 1, par une série en x à terme constant non nul, est le produit, par une série en x, x1, ..., xn à terme constant non nul, d'un polynôme :
Les conséquences de ce théorème sont très nombreuses et Weierstrass donne lui-même les deux premières : l'allure locale de l'ensemble des zéros d'une fonction holomorphe de plusieurs variables et le fait que, dans l'anneau des séries entières à plusieurs variables, les diviseurs communs à des éléments donnés (en nombre fini) sont les diviseurs d'un seul élément appelé P.G.C.D. des éléments donnés (ceux-ci sont premiers entre eux si leur P.G.C.D. est la constante 1).
Dans le même mémoire de 1879, Weierstrass établit un autre fait important : Si deux fonctions holomorphes ont au point a des développements tayloriens premiers entre eux, il en est de même en tout point assez voisin de a. Il conjectura que toute fonction méromorphe sur Cn est quotient de deux fonctions entières et même qu'on peut imposer à ces deux fonctions d'avoir en tout point des développements tayloriens premiers entre eux, mais il dut laisser l'honneur des réponses affirmatives à H. Poincaré (1883) pour la première assertion et à J. Cousin (1895) pour la seconde.
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