2. La théorie des fonctions elliptiques
La théorie des fonctions elliptiques, elle aussi, doit beaucoup à Weierstrass. C'est lui qui introduit les fonctions p, ζ, σ (cf. fonctions analytiques - Fonctions elliptiques et modulaire), cette dernière construite à l'aide d'un produit infini de Weierstrass ; c'est lui qui reconnut l'existence d'une relation algébrique entre f (u), f (v) et f (u + v) pour toute fonction elliptique f et posa le problème consistant à trouver toutes les fonctions qui ont cette propriété. On sait aujourd'hui que ce sont, outre les fonctions elliptiques, les fonctions rationnelles de la variable ou de l'exponentielle.
Dans le même ordre d'idées, les fonctions méromorphes périodiques de n variables posaient plusieurs problèmes difficiles. Dans une lettre à Weierstrass, Riemann avait affirmé sans démonstration que, si le groupe des périodes d'une telle fonction n'est pas discret, elle ne dépend que de moins de n combinaisons linéaires des n variables ; c'est Weierstrass qui, en 1876, établit ce fait important, puis montra que la fonction est toujours quotient de deux fonctions thêta obtenues par translations convenables d'une même série thêta de Jacobi ; enfin, il aborda la recherche des conditions de convergence des séries thêta, que G. Frobenius devait conclure peu après.
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